Question

在關于x的方程x²-2ax+

1

4

b²=0中，a，b分別是一個面積為12的等腰三角形的腰與底邊的長，且這個方程的兩根之差的絕對值為8．則這個三角形的內切圓面積是

 

．

Answer 1

分析：先根據一元二次方程的根與系數的關系知：x₁+x₂=2a，x₁x₂=

1

4

b²，利用（x₁+x₂）²-4x₁x₂=64可列方程4a²-b²=64；再根據a，b分別是一個面積為12的等腰三角形的腰與底邊的長，可得到S_△=

1

2

b×

1

2

×

4a2-b2

=12，與4a²-b²=64聯立方程即可解得b，a的值；再設內切圓半徑為x，利用AD²+DF²=AF²=（AE-EF）²，列方程2²+x²=（4-x）²，解得半徑x，代入三角形的內切圓面積公式即可求解．

解答：解：如圖，AB=AC=a，BC=b，AE⊥BC，FD⊥AB，圓F是△ABC的內切圓，
∴BE=

1

2

BC=

1

2

b，AE=

AB2-BE2

=

1

2

4a2-b2

；
∵x₁+x₂=2a，x₁x₂=

1

4

b²，
又∵|x₁-x₂|=8，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=64，即4a²-b²=64；
∵a，b分別是一個面積為12的等腰三角形的腰與底邊的長，
∴S_△=

1

2

b×

1

2

×

4a2-b2

=12，
與4a²-b²=64聯立方程解得，b=6，a=5；
設內切圓半徑為x，則
EF=DF=x，
∴BE=BD=3，AD=AB-BD=5-3=2，AD²+DF²=AF²=（AE-EF）²，
∴2²+x²=（4-x）²，
解得x=

3

2

；
∴三角形的內切圓面積=π×（

3

2

）²=

9π

4

．

點評：主要考查：等腰三角形的三線合一，三角形內切圓的意義，直角三角形的性質、勾股定理、根與系數的關系．此題難點在于利用根與系數的關系和勾股定理求a，b的值．學生丟分率較高．