Question

a是大于零的實數，已知存在惟一的實數k，使得關于x的二次方程x²+（k²+ak）x+1999+k²+ak=0的兩個根均為質數．求a的值．

Answer 1

分析：根據根與系數的關系，可得方程p+q=-（k²+ak），①pq=1999+k²+ak．②，從而得到（p+1）（q+1）=2⁴×5³，③．得出

p+1

4

•

q+1

4

=5³，求得p=3，q=499，代入①得k²+ak+502=0，④，再根據判別式求得a的值．

解答：解：設方程的兩個質數根為p﹑q．由根與系數的關系，有
p+q=-（k²+ak），①
pq=1999+k²+ak，②
①+②，得p+q+pq=1999，
則（p+1）（q+1）=2⁴×5³．③
由③知，p、q顯然均不為2，所以必為奇數．
故

p+1

2

和

q+1

2

均為整數，且

p+1

2

•

q+1

2

=2²×5³，
若

p+1

2

為奇數，則必

p+1

2

=5^r（r=1，2，3），從而，p=2×5^r-1為合數，矛盾．
因此，

p+1

2

必為偶數．同理，

q+1

2

也為偶數．
所以，

p+1

2

和

q+1

2

均為整數，且

p+1

4

•

q+1

4

=5³．
不妨設p≤q，則

p+1

4

=1或5．
當

p+1

4

=1時，

q+1

4

=5³，得p=3，q=499，均為質數．
當

p+1

4

=5時，

q+1

4

=5²，得p=19，q=99，q為合數，不合題意．
綜上可知，p=3，q=499．
代入①得k²+ak+502=0．④
依題意，方程④有惟一的實數解．
故△=a²-4×502=0．
解得a=2

502

．

點評：此題考查了二次方程根的情況與判別式△的關系以及根與系數的關系，質數的基本性質，有一定的難度．