Question

（2010•大連）如圖，拋物線F：y=ax²+bx+c（a＞0）與y軸相交于點C，直線L₁經過點C且平行于x軸，將L₁向上平移t個單位得到直線L₂，設L₁與拋物線F的交點為C、D，L₂與拋物線F的交點為A、B，連接AC、BC．
（1）當，，c=1，t=2時，探究△ABC的形狀，并說明理由；
（2）若△ABC為直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）；
（3）在（2）的條件下，若點A關于y軸的對稱點A’恰好在拋物線F的對稱軸上，連接A’C，BD，求四邊形A’CDB的面積（用含a的式子表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據a、b、c的值，可確定拋物線的解析式，進而可求出C點的坐標；根據t的值，可確定直線L₂的解析式，聯立拋物線的解析式即可得到A、B的坐標；根據A、B、C三點的坐標，可求出直線AC、BC的斜率，此時發現兩條直線的斜率的乘積為-1，所以它們互相垂直，由此可判定△ABC是直角三角形；
（2）根據拋物線的解析式可知：C點坐標為（0，c），那么直線L₂的解析式為c+t，聯立拋物線的解析式可得到關于x的方程，那么方程的兩根即為A、B的橫坐標，可由根與系數的關系求出AB的長；設拋物線的對稱軸與L₂的交點為F，根據拋物線的對稱性知AF=BF即F是AB中點，若△ABC是直角三角形，則AB=2CF，由此可得到CF的表達式；設L₂與y軸的交點為E，那么CE的長即為E、C縱坐標差的絕對值，EF的長即為拋物線對稱軸方程的絕對值，在Rt△CEF中，根據勾股定理即可求出t的值；
（3）若A′恰好在拋物線的對稱軸上，那么AB=2AA′；而A、A′關于y軸對稱，那么AA′=2A′E，即AB=2A′B=4A′E；根據拋物線的對稱性易知CD=2A′E，那么A′B平行且相等于CD，即四邊形A′BDC是平行四邊形，由AB=4EA′可求出b的值，而CD=A′B=-，平行四邊形的高為t，根據平行四邊形的面積計算方法即可求出四邊形A′CDB的面積．
解答：解：（1）當，，c=1，
y=x²-x+1，
當t=2時，
A、B縱坐標為3，
令y=3，解得x=-1或x=4，
故A（-1，3），B（4，3），C（0，1），
AC²=1²+（3-1）²=5，BC²=4²+（3-1）²=20，AB²=（4+1）²=25，
∴AC²+BC²=AB²，
∴AC與BC垂直，
故△ABC是直角三角形．

（2）設AB交y軸于E，交拋物線對稱軸于M，則M為AB中點，連接CM；
由方程c+t=ax²+bx+c得ax²+bx-t=0，
設方程的兩根為x₁、x₂，由根與系數的關系得：
x₁+x₂=-，x₁x₂=-；
AB=|x₁-x₂|==；
∴CM=AB=；
在Rt△CEM中，CE=t，EM=|-|；
∴t²+|-|²=（）²，
解得t=；

（3）因為點A關于y軸的對稱點A′恰好在拋物線F的對稱軸上，
∴對稱軸在y軸的右側，a，b異號，
∴b＜0，且AB=4EA′；
∴=-×4，
解得b=-；
∴CD=A′B=-，
∴四邊形A′CDB是平行四邊形，
則它的面積為-×t=．
點評：此題主要考查了函數圖象交點坐標的求法、直角三角形的判定和性質、拋物線的對稱性、勾股定理以及平行四邊形的判定和性質等重要知識點，綜合性強，難度較大．