Question

兩個重疊的正多邊形，其中的一個繞某一個頂點旋轉所形成的有關問題．
實驗與論證
設旋轉角∠A₁A_OB₁=α（α＜∠A₁A_OA₂），θ₃，θ₄，θ₅，θ₆所表示的角如圖所示．

（1）用含α的式子表示角的度數：θ₃=

 

，θ₄=

 

，θ₅=

 

；
（2）圖2中，連接A_oH時，在不添加其他輔助線的情況下，是否存在與直線A_oH垂直且被它平分的線段？若存在，請給出證明；若不存在，請說明理由；
歸納與猜想
設正n邊形A_OA₁A₂…A_n-1與正n邊形A_OB₁B₂…B_n-1重合（其中A₁與B₁重合），現將正n邊形A_OB₁B₂…B_n-1繞頂點A_o逆時針旋轉α(0°＜α＜

180°

n

)．
（3）試猜想在正n邊形的情況下，是否存在以A₁為端點的線段被直線A_oH垂直且平分？若存在，請將這條線段用相應的頂點字母表示出來（不要求證明）；若不存在，請說明理由．
（4）設θ_n與上述“θ₃，θ₄，…”的意義一樣，請直接寫出θ_n的度數．

Answer 1

分析：（1）由正三角形的性質得α+θ₃=60°，再由正方形的性質得θ₄=45°-（45°-α）=α，最后由正五邊形的性質得θ5=108°-36°-36°-α=36°-α；
（2）存在，如在圖1中直線A₀H垂直且平分的線段A₂B₂，△A₀A₁A₂≌△A₀B₁B₂，推得A₂H=B₁H，則點H在線段A₂B₂的垂直平分線上；由A₀A₂=A₀B₁，則點A₀在線段A₂B₂的垂直平分線上，從而得出直線A₀H垂直且平分的線段A₂B₂
（3）當n為奇數時，θ_n=

180°

n

-α；
當n為偶數時，θ_n=α
（4）多寫幾個總結規律：
當n為奇數時，直線A₀H垂直平分 A

n+1

2

B

n-1

2

，
當n為偶數時，直線A₀H垂直平分 A

n

2

B

n

2

解答：解：（1）60°-α，α，36°-α

（2）存在．下面就所選圖形的不同分別給出證明：
選圖如，圖中有直線A₀H垂直平分A₂B₂，證明如下：
方法一：
證明：∵△A₀A₁A₂與△A₀B₁B₂是全等的等邊三角形
∴A₀A₂=A₀B₂
∴∠A₀A₂B₂=∠A₀B₂A₂
又∵∠A₀A₂H=∠A₀B₂H=60°
∴∠HA₂B₂=∠HB₂A₂
∴A₂H=B₂H，∴點H在線段A₂B₂的垂直平分線上
又∵A₀A₂=A₀B₂，
∴點A₀在線段A₂B₂的垂直平分線上
∴直線A₀H垂直平分A₂B₂
方法二：
證明：∵△A₀A₁A₂與△A₀B₁B₂是全等的等腰三角形
∴A₀A₂=A₀B₂
∴∠A₀A₂B₂=∠A₀B₂A₂
又∵∠A₀A₂H=∠A₀B₂H=45°
∴∠HA₂B₂=∠HB₂A₂
∴A₂H=B₂H，
在△A₀A₂H與△A₀B₂H中
∵A₀A₂=A₀B₂，
HA₂=HB₂，∠A0A₂H=∠A₀B₂H
∴△A₀A₂H≌△A₀B₂H
∴∠A₀A₂H=∠B₂A₂H
∴A₀H是等腰三角形A₀A₂B₁的角平分線
∴直線A₀H垂直平分A₂B₂選圖如，圖中有直線A₀H垂直平分A₂B₂，
證明如下：
∵A₀B₂=A₀A₂∴∠A₀B₂A₂=∠A₀A₂B₂
又∵∠A₀B₂B₁=∠A₀A₂A₃
∴∠HB₂A₂=∠HA₂B₂
∴HB₂=HA₂
∴點H在線段A₂B₂的垂直平分線上
又∵A₀B₂=A₀A₂，
∴點A₀在線段A₂B₂的垂直平分線上
∴直線A₀H垂直平分A₂B₂

（3）存在．
當n為奇數時，直線A₀H垂直平分 A

n+1

2

B

n-1

2

，
當n為偶數時，直線A₀H垂直平分 A

n

2

B

n

2

．
（4）當n為奇數時，θ_n=

180°

n

-α；
當n為偶數時，θ_n=α．

點評：此題主要考查線段的垂直平分線的性質等幾何知識．線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．