Question

直線與軸交于點，點在第一象限，且，.

（1）若點是點關于軸的對稱點，求過三點的拋物線的表達式.

（2）在（1）中的拋物線上是否存在點（點在第一象限），使得以點為頂點的四邊形是梯形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

（3）若將點分別變換為點（且為常數），設過兩點且以的垂直平分線為對稱軸的拋物線（開口向上）與軸的交點為，其頂點為，記的面積為，的面積為，求的值.

Answer 1

解：（1）如圖所示，點，

過作軸于點，

則在中，，

∴，∴，則

設過三點的拋物線表達式為

，將點代入得，

∴所求拋物線的表達式是.………………3分

（2）設存在第一象限的點，使得以點為頂點的四邊形是梯形，則，由和可求得直線的表達式為，

則直線的表達式為，

聯立，解得（舍去）或，則，

此時，所以存在點使得四邊形為梯形.8分

（3）依題意可設拋物線表達式為，則，，，設拋物線的對稱軸與軸的交點為，則

∴：=1：12. ………………14分