Question

【題目】如圖，E是正方形ABCD邊AB的中點，連接CE，過點B作BH⊥CE于F，交AC于G，交AD于H．下列說法： ；②點F是GB的中點； ； ，其中正確的結論的序號是_____________

Answer 1

【答案】①③④

【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC平分∠HAB，∴ ，故①正確；

假設F是GB的中點，∵CF⊥BG，∴CG=CB，∴CF平分∠BCG．而CE是Rt△ABC的中線，∴CE不能平分∠BCA，矛盾，故F是GB的中點是錯誤的．故②錯誤；

易證△HAB≌△EBC，∴HA=EB=AB．過G作GM⊥AB于M．∵∠CAB=45°，∴△AMG是等腰直角三角形，∴AM=MG，AG=MG，∵GM⊥AB，HA⊥AB，∴GM∥HA，∴△GBM∽△HBA，∴．∵AH=AB，∴GM=AB，∴AG=AB．故③正確；

由①③得：GB=2HG，∴BH=3HG，∴S△HAB=3S△AHG．∵△HAB≌△EBC，∴S△HAB=S△EBC=S△ABC，∴S△HAB=S△ABC．故④正確．

故①③④正確．