Question

【題目】（概念認識）

若以圓的直徑的兩個端點和圓外一點為頂點的三角形是等腰三角形，則圓外這一點稱為這個圓的徑等點．

（數學理解）

（1）如圖①，AB是⊙O的直徑，點P為⊙O外一點，連接AP交⊙O于點C，PC＝AC．

求證：點P為⊙O的徑等點．

（2）已知AB是⊙O的直徑，點P為⊙O的徑等點，連接AP交⊙O于點C，若PC＝2AC．求的值．

（問題解決）

（3）如圖②，已知AB是⊙O的直徑．若點P為⊙O的徑等點，連接AP交⊙O于點C，PC＝3AC．利用直尺和圓規作出所有滿足條件的點P．（保留作圖痕跡，不寫作法）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）共有4個，見解析

【解析】

（1）連接BC，根據直徑的性質及垂直平分線的性質即可得到AB＝PB，故可求解；

（2）分AB＝AP時和PA＝PB時分別作圖，根據相似三角形的性質即可求解；

（3）分AP=AB和AP=BP分別作圖即可求解．

（1）證明：如圖①，連接BC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵AC＝PC，

∴BC垂直平分AP，

∴AB＝PB，即△APB為等腰三角形，

∴點P為⊙O的徑等點．

（2）①如圖②-1，

當AB＝AP時，若PC＝2AC，則，

∴；

②如圖②-2，

當PA＝PB時，∵O點是AB中點，

∴OP⊥AB，

∴∠ACB=∠AOP，

又∠A=∠A

∴△ABC∽△APO，

∴，

∵2AC＝PC，設AC＝k，則PC＝2k，

∴，

AB＝k，

∴=

（3）如圖③④，滿足條件的點P共有4個．