Question

在平面直角坐標系中，點O為坐標原點．
（1）若點P的坐標為（1，2），將線段OP繞原點O逆時針旋轉90°得到線段OQ，則點Q的坐標為______．
（2）若過點P的直線L₁的函數解析式為y=2x，求過點P且與直線L₁垂直的直線L₂的函數解析式；
（3）若直線L₁的函數解析式為y=x+4，直線L₂的函數解析式為y=-x-2，求證：直線L₁與直線L₂互相垂直；
（4）設直線L₁的函數關系式為y=k₁x+b₁，直線L₂的函數關系式為y=k₂x+b₂（k₁•k₂≠0）．根據以上的解題結論，請你用一句話來總結概括：直線L₁和直線L₂互相垂直與k₁、k₂的關系．
（5）請運用（4）中的結論來解決下面的問題：
在平面直角坐標系中，點A的坐標為（-3，-6），點B的坐標為（7，2），求線段AB的垂直平分線的函數解析式．

Answer 1

解：（1）由坐標轉換可知，Q（-2，1）．

（2）直線L₁：y=2x，即tanα=2，設直線L₂的函數解析式為y=kx+b，即tanβ=k，
又兩直線垂直，tan（β-α）=[tanβ-tanα]/[1+tanα tanβ]，所以tana tanb=-1，即2k=-1，
即k=，
又因為直線L₂過點P，，
得b=，
故直線L₂的函數解析式為：．

（3）設直線L₁、直線L₂與x軸的夾角分別為a，b，即tana=1，tanb=-1，
代入tan（b-a）=[tanb-tana]/[1+tana tanb]，可知1+tana tanb=0；即tan（b-a）無意義，
即兩直線夾角為90°，即證直線L₁與直線L₂互相垂直；

（4）直線L₁和直線L₂互相垂直，k₁×k₂=-1．

（5）設線段AB的垂直平分線的函數解析式為y=kx+b．
由（4）可知，即k=-，又過AB的中點（2，-2），代入函數式，可得b=，即線段AB的垂直平分線的函數解析式為y=．
分析：（1）由坐標轉換可知，逆時針旋轉90°，坐標互換，縱坐標變號．
（2）過點P的直線L₁的函數解析式為y=2x，與x軸成α角，即tanα=2，與直線L₁垂直的直線L₂的函數解析式為y=kx+b，即tanβ=k，又兩直線垂直，故其夾角為90°，即tan（β-α）=[tanβ-tanα]/[1+tanα tanβ]=0．且P（1，2），代入方程，即可得出．
（3）設兩函數與x軸的夾角分別為a，b，即tana=1，tanb=-1，代入tan（b-a）=[tanb-tana]/[1+tana tanb]即可．
（4）直線L₁和直線L₂互相垂直，k₁×k₂=-1．
（5）由兩點式可知兩點所在直線的斜率，根據（4）的結論以及A、B的中點坐標即可得出函數解析式．
點評：本題著重考查了學生對直線互相垂直時兩斜率之積為-1的證明，要求學生對此類題熟練掌握．