Question

如圖1，在正方形中，點分別為邊的中點，相交于點，則可得結論：①；②．（不需要證明）

（1）如圖2，若點不是正方形的邊的中點，但滿足，則上面的結論①，②是否仍然成立？（請直接回答“成立”或“不成立”）

（2）如圖3，若點分別在正方形的邊的延長線和的延長線上，且，此時上面的結論1，2是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由．

（3）如圖4，在（2）的基礎上，連接和，若點分別為的中點，請判斷四邊形是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一種？并寫出證明過程．

 

Answer 1

【答案】

（1）∵DF=CE，AD=DC，且∠ADF=∠DCE，

∴△DEC≌△AFD；

∴結論①、②成立

（2）結論①、②仍然成立．理由為：

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=DC=CB且∠ADC=∠DCB=90°，

在Rt△ADF和Rt△ECD中

AD=DC

∠ADC=∠DCB

CE=DF，

∴Rt△ADF≌Rt△ECD（SAS），

∴AF=DE，

∴∠DAF=∠CDE，

∵∠ADE+∠CDE=90°，

∴∠ADE+∠DAF=90°，

∴∠AGD=90°，

∴AF⊥DE；

（3）結論：四邊形MNPQ是正方形

證明：∵AM=ME，AQ=QD，

∴MQ∥DE且MQ=DE，

同理可證：PN∥DE，PN=DE；

MN∥AF，MN=AF；

PQ∥AF，PQ=AF；

∵AF=DE，

∴MN=NP=PQ=QM，

∴四邊形MNPQ是菱形，

又∵AF⊥DE，

∴∠MQP=∠QMN=∠MNP=∠NPQ=90°，

∴四邊形MNPQ是正方形．

【解析】（1）根據正方形的性質證明△DEC≌△AFD即可知道結論成立．

（2）由已知得四邊形ABCD為正方形，證明Rt△ADF≌Rt△ECD，然后推出∠ADE+∠DAF=90°；進而得出AF⊥DE；

（3）首先根據題意證明四邊形MNPQ是菱形，然后又因為AF⊥DE，得出四邊形MNPQ為正方形．