Question

已知拋物線y=a（x-1）²-2與x軸交于A、B兩點，頂點為C，B點坐標為（3，0）
（1）求a的值；
（2）若以AB為直徑的圓與y軸正半軸交于D，直線y=kx+b與該圓相切于D，求直線的解析式；
（3）設E為拋物線對稱軸上的一點，在拋物線上是否存在這樣的點F使得以A、B、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，求出F點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）將B（3，0）點坐標代入拋物線y=a（x-1）²-2得：
0=a（3-1）²-2，
解得a=；

（2）拋物線的頂點C的坐標為（1，2），
拋物線y=（x-1）²-2與x軸交于A、B兩點，
已知B點坐標為（3，0），則A坐標為（-1，0），
AB=4，以AB為直徑的圓的半徑為2，
⊙E的方程為（x-1）²+y²=4，
當x=0時，y=，
∴D點坐標為（0，），直線DE的斜率為k=-，
∵直線y=kx+b與該圓相切于D，
故直線l的斜率為，
將D（0，）點坐標代入y=x+b，
解得b=，
∴直線的解析式為y=x+；

（3）存在，設E點坐標為（1，y），
要想使四邊形ABEF為平行四邊形，E、F兩點必須關于AB對稱，
又∵點E在對稱軸上，故點F也應該在對稱軸上，
又∵點F在拋物線上，
故點F應該在拋物線的頂點C的位置時四邊形ABEF為平行四邊形，
故點F的坐標為（1，2），點E坐標為（1，-2）
分析：（1）將B點坐標代入拋物線y=a（x-1）²-2即可求得a的值；
（2）先根據圓的方程求出D點坐標，再將D（0，）點坐標代入y=kx+b，即可求得直線的解析式；
（3）根據平行四邊形的性質和E點坐標的位置，便可求出點F的坐標．
點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和直線與圓相切及平行四邊形的性質等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數形結合數學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．