Question

【題目】在平面直角坐標系中，對于任意兩點，,若點滿足，，則稱點為點，的衍生點.

（1）求點，的衍生點；

（2）如圖，已知是直線上的一點，，點是，的衍生點.

①求與的函數關系式；

②若直線與軸交于點，是否存在以為直角邊的，若存在，求出所有滿足條件的點坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）點,的衍生點是；（2）①；②存在以為直角邊的,此時滿足條件的點坐標是或.

【解析】

（1）根據衍生點的定義即可求出答案；

（2）①先根據直線設點B的坐標，再根據衍生點的定義求出點P的坐標，然后化簡即可得出y與x的函數關系式；

②如圖（見解析），分PQ是另一直角邊和PA是另一直角邊兩種情況討論，設點B或點P的坐標，再根據衍生點的定義建立等式求解即可.

（1）由衍生點的定義得：

故點,的衍生點是；

（2）①由題意設：

∵點是點的衍生點

∴,

則

∴

故y與x的函數關系式為；

②存在，求解點B的坐標過程如下：

如圖1，當PQ是另一直角邊時

此時，

由①的結論，設，則點

由點是點的衍生點得：，

解得：

則

故此時點的坐標為

如圖2，當PA是另一直角邊時

此時，

因為點A的坐標為

所以點P的橫坐標為4，代入得：

則點P的坐標為

設點B的坐標為

由點是點,的衍生點得：，

解得：

則

故此時點的坐標為

綜上，存在以為直角邊的，此時滿足條件的點坐標為或.