Question

將拋物線沿c₁：y=-x²+沿x軸翻折，得拋物線c₂，如圖所示．
（1）請直接寫出拋物線c₂的表達式．
（2）現將拋物線C₁向左平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A，B；將拋物線C₂向右也平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為N，與x軸交點從左到右依次為D，E．
①當B，D是線段AE的三等分點時，求m的值；
②在平移過程中，是否存在以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）y=x²-．

（2）①令-x²+=0，得x₁=-1，x₂=1
則拋物線c₁與x軸的兩個交點坐標為（-1，0），（1，0）．
∴A（-1-m，0），B（1-m，0）．
同理可得：D（-1+m，0），E（1+m，0）．
當AD=AE時，
（-1+m）-（-1-m）=[（1+m）-（-1-m）]，
∴m=．
當BD=AE時，
（1-m）-（-1+m）=[（1+m）-（-1-m）]，∴m=2．
故當B，D是線段AE的三等分點時，m=或2．
②存在．
理由：連接AN，NE，EM，MA．依題意可得：M（-m，），N（m，-）．
即M，N關于原點O對稱，∴OM=ON．
∵A（-1-m，0），E（1+m，0），∴A，E關于原點O對稱，∴OA=OE
∴四邊形ANEM為平行四邊形．
∵AM²=（-m+1+m）²+（）²=4，
ME²=（1+m+m）²+（）²=4m²+4m+4，
AE²=（1+m+1+m）²=4m²+8m+4，
若AM²+ME²=AE²，則4+4m²+4m+4=4m²+8m+4，∴m=1，
此時△AME是直角三角形，且∠AME=90°．
∴當m=1時，以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形．
分析：（1）根據翻折的性質可求拋物線c₂的表達式；
（2）①求出拋物線c₁與x軸的兩個交點坐標，分當AD=AE時，當BD=AE時兩種情況討論求解；
②存在．理由：連接AN，NE，EM，MA．根據矩形的判定即可得出．
點評：本題是二次函數的綜合題型，考查了翻折的性質，平行四邊形和矩形的判定，注意分析題意分情況討論結果．