Question

【題目】如圖，是等邊三角形，，是邊上一動點，由向運動（與、不重合），是延長線上一動點，與點同時以相同的速度由向延長線方向運動（不與重合），過作于，連接交于．

（1）證明：在運動過程中，點是線段的中點；

（2）當時，求的長；

（3）在運動過程中線段的長是否發生變化？如果不變，求出線段的長；如果變化請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2；（3）運動過程中線段長不發生變化，定值為3．

【解析】

(1)過點作，交于點，根據題目已知條件可證的是等邊三角形，再證得，從而得到DQ=DP，即可證得結果；

(2)根據題目條件得出BQ=BD，由(1)知，△DQB≌△DPF得出PF=FD，再利用△APF是等邊三角形即可得出結果；

(3) 由(1)得是等邊三角形得出，由(1)知，△DQB≌△DPF，得出DF=DB，即可得出結果．

(1)證明：如圖，過點作，交于點．

，，

是等邊三角形

在△DQB和△DPF中

∴

∴點是線段的中點．

(2)，，

，

由(1)知，，

，

是等邊三角形，

，

，

，

；

(3)解：運動過程中線段長不發生變化，定值為3．

∵由(1)得是等邊三角形

，

由(1)得

，即

．