Question

【題目】如圖，△ABC中，∠B =∠C，點D、E分別是邊AB、AC上的點，PD平分∠BDE交BC于H，PE平分∠DEC交BC于G，DQ平分∠ADE交PE延長線于Q。

（1）∠A+∠B+∠C+∠P +∠Q = °；

（2）猜想∠P與∠A的數量關系，并證明你的猜想；

（3）若∠EGH =112°，求∠ADQ 的大小。

Answer 1

【答案】（1）270°；（2）∠P=90°-∠A,理由見解析；（3）∠ADQ=22°

【解析】

（1）由三角形內角和可知∠A+∠B+∠C=180°，由三角形內角和及角平分線的定義可求出∠P +∠Q =90°；

（2）由PD平分∠BDE，PE平分∠DEC，可得，∠PED=，在△PDE中，∠P=180°－∠PDE－∠PED，在△ABC中，ADE+∠AED=180°－∠A ，整理可得∴；

（3）由角平分線的定義及三角形外角的性質可得∠DHG=∠B+∠HDB，∠EGH=∠C+∠GEC，從而∠DHG －∠HDE=∠EGH－∠GED，結合四邊形內角和可求∠DHG+∠GED =∠HDE+∠EGH=180°， 進而可得∠HDE=68°，然后根據角平分線的定義及鄰補角的定義即可求出∠ADQ 的大小.

解：（1）∵PD平分∠BDE，DQ平分∠ADE，

∴，∠ADQ=，

∴∠PDE+∠ADQ=(∠BDE+∠ADE)=90°,

∴∠P+∠Q=190°-90°=90°.

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A+∠B+∠C+∠P +∠Q =270°；

（2）猜想，證明如下：

∵PD平分∠BDE，PE平分∠DEC

∴，

又在△PDE中，∠P=180°－∠PDE－∠PED=

在△ABC中，∠ADE+∠AED=180°－∠A

∴

（3）∵PD平分∠BDE，PE平分∠DEC，

∴∠HDE=∠HDB，∠GEC=∠GED.

∵∠DHG=∠B+∠HDB，∠EGH=∠C+∠GEC，∠B =∠C，

∴∠DHG －∠HDB=∠EGH－∠GEC，

即∠DHG －∠HDE=∠EGH－∠GED，

∴在四邊形DHGE中，∠DHG+∠GED=∠HDE+∠EGH==180°，

∵∠EGH =112°，

∴∠HDE=68°，

∴∠BDE=2∠HDE=136° ，

∴∠ADE=180°－∠BDE =44°.

∵DQ平分∠ADE，

∴∠ADQ==22°.