Question

已知一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數的圖象交于點P（2，1），與x軸交于點E，與y軸交于點F，O是坐標原點．
（1）求這兩個函數的解析式；
（2）能否在反比例函數 的圖象上找到一點H，使△HOE的面積與△EOF的面積
相等？如果能，請求出點H的坐標；如果不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）把P（2，1）代入y=得：k=2，
故反比例函數的解析式是y=，
把點P（2，1），k=2代入一次函數y=kx+b得，2×2+b=1，
解得b=-3．
所以，一次函數的解析式為y=2x-3；

（2）令y=0，則2x-3=0，解得x=，
令x=0，則y=-3，
所以，點E（，0），F（0，-3），
∴OE=，OF=3，
設點H到x軸的距離為h，
則S_△HOE=×h=h，S_△EOF=××3=，
所以，h=，
解得h=3，
即點H的縱坐標的絕對值是3，
當H的縱坐標是負數時，=-3，解得x=-，
當點H的縱坐標是正數時，=3，解得x=，
所以，點H的坐標為（-，-3）或（，3）．
分析：（1）把點P的坐標代入反比例函數解析式求出k的值，再把k的值與點P的坐標代入一次函數解析式計算求出b的值，即可得解；
（2）利用直線解析式求出E、F的坐標，從而得到OE、OF的長度，然后根據三角形的面積求出點H到x軸的距離，再分點H縱坐標為負數與正數兩種情況解答．
點評：本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，主要利用了待定系數法求反比例函數解析式，求一次函數解析式，（1）一次函數與反比例函數的比例系數都是k是解題的關鍵，（2）要注意分點H的縱坐標是負數與正數兩種情況討論．