Question

已知：如圖，平面直角坐標系xOy中，點A、B的坐標分別為A（4，0），B（0，-4），P為y軸上B點下方一點，PB=m（m＞0），以AP為邊作等腰直角三角形APM，其中PM=PA，點M落在第四象限．
（1）求直線AB的解析式；
（2）用m的代數式表示點M的坐標；
（3）若直線MB與x軸交于點Q，判斷點Q的坐標是否隨m的變化而變化，寫出你的結論并說明理由．

Answer 1

分析：（1）直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數法求函數的解析式即可；
（2）作MN⊥y軸于點N證得△AOP≌△PNM，得到OP=NM，OA=NP．根據PB=m，用m表示出NM和ON=OP+NP，根據點M在第四象限，表示出點M的坐標即可．
（3）設直線MB的解析式為y=nx-4，根據點M（m+4，-m-8）．然后求得直線MB的解析式為，從而得到無論m的值如何變化，點Q的坐標都為（-4，0）．

解答：解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0）．
則

4k+b=0 b=-4

 解

k=1 b=-4

∴直線AB的解析式為y=x-4．

（2）作MN⊥y軸于點N．
∵△APM為等腰直角三角形，PM=PA，
∴∠APM=90°．
∴∠OPA+∠NPM=90°．
∵∠NMP+∠NPM=90°，
∴∠OPA=∠NMP．
又∵∠AOP=∠PNM=90°，
∴△AOP≌△PNM．（AAS）
∴OP=NM，OA=NP．
∵PB=m（m＞0），
∴NM=m+4，ON=OP+NP=m+8．
∵點M在第四象限，
∴點M的坐標為（m+4，-m-8）．

（3）答：點Q的坐標不變．
設直線MB的解析式為y=nx-4（n≠0）．
∵點M（m+4，-m-8）．
在直線MB上，
∴-m-8=n（m+4）-4．
整理，得（m+4）n=-m-4．
∵m＞0，
∴m+4≠0．
解得 n=-1．
∴直線MB的解析式為y=-x-4．
∴無論m的值如何變化，點Q的坐標都為（-4，0）．

點評：本題考查了一次函數的綜合知識，本題的綜合性強，難度較大．