Question

【題目】如圖，已知動點A在函數的圖象上，AB⊥x軸于點B，AC⊥y軸于點C，延長CA至點D，使AD=AB，延長BA至點E，使AE=AC．直線DE分別交x，y軸分別于點P，Q．當QE：DP=4：9時，圖中陰影部分的面積等于 ．

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：過點D作DG⊥x軸于點G，過點E作EF⊥y軸于點F．令A（t，），則AD=AB=DG=，AE=AC=EF=t，則圖中陰影部分的面積=△ACE的面積+△ABD的面積=t2+×，因此只需求出t2的值即可．先在直角△ADE中，由勾股定理，得出DE=，再由△EFQ∽△DAE，求出QE=，△ADE∽△GPD，求出DP=：，然后根據QE：DP=4：9，即可得出t2=．

解：解法一：過點D作DG⊥x軸于點G，過點E作EF⊥y軸于點F．

令A（t，），則AD=AB=DG=，AE=AC=EF=t．

在直角△ADE中，由勾股定理，得DE====．

∵△EFQ∽△DAE，

∴QE：DE=EF：AD，

∴QE=，

∵△ADE∽△GPD，

∴DE：PD=AE：DG，

∴DP=．

又∵QE：DP=4：9，

∴：=4：9，

解得t2=．

∴圖中陰影部分的面積=AC2+AB2=t2+×=+3=；

解法二：∵QE：DP=4：9，

∴EF：PG=4：9，

設EF=4t，則PG=9t，

∴A（4t，），

由AC=AE AD=AB，

∴AE=4t，AD=，DG=，GP=9t，

∵△ADE∽△GPD，

∴AE：DG=AD：GP，

4t：=：9t，即t2=，

圖中陰影部分的面積=4t×4t+××=．

故答案為：．