Question

等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，面積S=9，建立如圖所示的直角坐標系，已知A（1，0）、B（0，3）．
（1）求C、D兩點坐標；
（2）取點E（0，1），連接DE并延長交AB于F，求證：DF⊥AB；
（3）將梯形ABCD繞A點旋轉180°到AB′C′D′，求對稱軸平行于y軸，且經過A、B′、C′三點的拋物線的解析式；
（4）是否存在這樣的直線，滿足以下條件：①平行于x軸，②與（3）中的拋物線有兩個交點，且這兩交點和（3）中的拋物線的頂點恰是一個等邊三角形的三個頂點？若存在，求出這個等邊三角形的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解：依題意設C（-m，3），則D（-m-1，0），BC=m，AD=m+2，
由梯形面積公式得（m+m+2）×3÷2=9，
解得m=2，
∴C（-2，3），D（-3，0）；

（2）證明：∵OD=OB=3，∠DOE=∠BOA=90°，OE=OA=1，
∴△ODE≌△OBA，
∴∠DEO=∠A，∠EDO+∠DEO=90°，
∴∠A+∠EDO=90°
∴DF⊥AB；

（3）解：由旋轉的性質可得B'（2，-3），C'（4，-3）又A（1，0），
設拋物線解析式y=ax²+bx+c，
代入得，
解得，
∴y=x²-6x+5；

（4）解：存在，設等邊三角形邊長為2n，
∵拋物線對稱軸是x=3，頂點坐標（3，-4）
則其中右交點為（n+3，n²-4），等邊三角形高為n²-4-（-4）=n²；
由等邊三角形底，高的關系得n=n²；
∴n=，
此時等邊三角形邊長為2，高為3，面積為3．
分析：（1）依題意設C（-m，3），則D（-m-1，0），根據梯形面積公式可求m=2，求出C，D兩點坐標；
（2）通過證明△ODE≌△OBA，利用互余關系可證DF⊥AB；
（3）利用中心對稱畫圖，由對稱性可確定A，B'，C'三點坐標，再求出拋物線解析式；
（4）可根據等邊三角形的高與邊長的關系，建立等式求解；
點評：本題考查了點的坐標、二次函數解析式求法，會用全等三角形解決垂直問題，會在圖形中解決特殊三角形的應該問題，本題綜合性很強．