Question

如圖，已知線段AB∥CD，AD與BC相交于點K，E是線段AD上一動點．
（1）若BK=KC，求的值；
（2）連接BE，若BE平分∠ABC，則當AE=AD時，猜想線段AB、BC、CD三者之間有怎樣的等量關系？請寫出你的結論并予以證明．再探究：當AE=AD（n＞2），而其余條件不變時，線段AB、BC、CD三者之間又有怎樣的等量關系？請直接寫出你的結論，不必證明．

Answer 1

解：（1）∵BK=KC，
∴=，
又∵CD∥AB，
∴△KCD∽△KBA，
∴==；

（2）當BE平分∠ABC，AE=AD時，AB=BC+CD．
證明：取BD的中點為F，連接EF交BC于G點，
由中位線定理，得EF∥AB∥CD，
∴G為BC的中點，∠GEB=∠EBA，
又∵∠EBA=∠GBE，
∴∠GEB=∠GBE，
∴EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，
∵EF=EG+GF，
即：AB=BC+CD；
∴AB=BC+CD；
同理，當AE=AD（n＞2）時，EF∥AB，
同理可得：==，則BG=•BC，則EG=BG=•BC，
==，則GF=•CD，
==，
∴+•CD=•AB，
∴BC+CD=（n-1）AB，
故當AE=AD（n＞2）時，BC+CD=（n-1）AB．
分析：（1）由已知得=，由CD∥AB可證△KCD∽△KBA，利用=求值；
（2）AB=BC+CD．作△ABD的中位線，由中位線定理得EF∥AB∥CD，可知G為BC的中點，由平行線及角平分線性質，得∠GEB=∠EBA=∠GBE，則EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，利用EF=EG+GF求線段AB、BC、CD三者之間的數量關系；
當AE=AD（n＞2）時，EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，EF=EG+GF可得BC+CD=（n-1）AB．
點評：本題考查了平行線的性質，三角形中位線定理，相似三角形的判定與性質，角平分線的性質．關鍵是構造平行線，由特殊到一般探索規律．