Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．點P從點B出發沿折線段BA-AD-DC以每秒5個單位長的速度向點C勻速運動；點Q從點C出發沿線段CB方向以每秒3個單位長的速度勻速運動，過點Q向上作射線QK⊥BC，交折線段CD-DA-AB于點E，點P、Q同時開始運動，當點P與點C重合時停止運動，點Q也隨之停止．設點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）。
（1）當點P到達終點C時，求t的值，并指出此時BQ的長；
（2）當點P運動到AD上時，t為何值能使PQ∥DC ？
（3）設射線QK掃過梯形ABCD的面積為S，分別求出點E運動到CD、DA上時，S與t的函數關系式；（不必寫出t的取值范圍）
（4）△PQE能否成為直角三角形？若能，寫出t的取值范圍；若不能，請說明理由。

Answer 1

解：（1）t =（50+75+50）÷5=35（秒）時，點P到達終點C， 此時，QC=35×3=105， ∴BQ的長為135-105=30； （2）如圖1，若PQ∥DC，又AD∥BC，則四邊形PQCD 為平行四邊形，從而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t 得50+75-5t=3t，解得t=， 經檢驗，當t=時，有PQ∥DC； （3）①當點E在CD上運動時，如圖2， 分別過點A、D 作AF⊥BC于點F，DH⊥BC于點H，則四邊形 ADHF為矩形，且△ABF≌△DCH，從而 FH= AD=75，于是BF=CH=30， ∴DH=AF=40， 又QC=3t，從而QE=QC·tanC=3t·=4t。（注：用相似三角形求解亦可） ∴S=S⊿QCE=QE·QC=6t2；  ②當點E在DA上運動時，如圖1， 過點D作DH⊥BC于點H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，從而ED=QH=QC-CH=3t-30， ∴S= S梯形QCDE=（ED+QC）DH =120 t-600； （4）△PQE能成為直角三角形， 當△PQE為直角三角形時，t的取值范圍是0＜t≤25且t≠或t=35， ①當點P在BA（包括點A）上，即0＜t≤10時，如圖2， 過點P作PG⊥BC于點G ，則PG=PB·sinB=4t，又有QE=4t = PG，易得四邊形PGQE為矩形，此時△PQE總能成為直角三角形， ②當點P、E都在AD（不包括點A但包括點D）上，即10＜t≤25時，如圖1， 由QK⊥BC和AD∥BC可知，此時，△PQE為直角三角形，但點P、E不能重合， 即5t-50+3t-30≠75，解得t≠，  ③當點P在DC上（不包括點D但包括點C），即25＜t≤35時，如圖3， 由ED＞25×3-30=45，可知，點P在以QE=40為直徑的圓的外部，故∠EPQ不會是直角， 由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是銳角，對于∠PQE，∠PQE≤∠CQE，只有當點P與C 重合，即t=35時，如圖4，∠PQE=90°，△PQE 為直角三角形， 綜上所述，當△PQE為直角三角形時，t的取值范圍是0＜t≤25且t≠或t=35。

圖1 圖2 圖3 圖4