Question

函數y=-x+4的圖象分別交x軸，y軸于點N、M，過線段MN上的點A向x軸作垂線與x軸交于A₁（a，0），繞著O點順時針旋轉射線OA，交MN于另一點B，過B點也向x軸作垂線與x軸交于B₁（b，0），且b＞a．
（1）△OA₁A與△OB₁B的面積分別用S₁、S₂表示，當a+b滿足什么條件時，S₂＞S₁．
（2）當a=2，b=3時，若一拋物線經過N、A、O三點，且對稱軸與OB交于點D，點P為線段DB上一點，過P點作y軸的平行線，交拋物線于點G．問：是否存在這樣的點P，使得四邊形ADPG為等腰梯形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點A₁、B₁的橫坐標代入直線求出點A、B的坐標，然后根據三角形的面積表示出S₁、S₂，再根據S₂＞S₁列出關于a、b的不等式，整理后求解即可；
（2）根據直線解析式求出點N的坐標，然后利用待定系數法求出二次函數的解析式，然后判斷出點A是二次函數的頂點，再根據AD、PG平行于y軸可得AD、PG是底邊，AG、DP是等腰梯形的腰，再根據b的值求出點B的坐標，然后求出直線OB的解析式，根據拋物線的解析式與OB的解析式求出AD的長，設點P的橫坐標為m，表示出PG的長度，過點P作PE⊥AD于E，表示出PE，PE∥x軸，根據兩直線平行，內錯角相等求出∠EPD=∠BOB₁，判斷出△DPE和△BOB₁相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出DE，再根據等腰梯形的性質，PG=AD-2DE，然后列出方程求出m的值，即可得到點P的坐標．
解答：解：（1）把A₁（a，0），B₁（b，0）的橫坐標代入直線y=-x+4得，
y=-a+4，y=-b+4，
所以，A（a，-a+4），B（b，-b+4），
所以，S₁=a•（-a+4）=-a²+2a，
S₂=b•（-b+4）=-b²+2b，
∵S₂＞S₁，
∴-b²+2b＞-a²+2a，
整理得，a²-b²+4b-4a＞0，
即（a-b）（a+b-4）＞0，
∵a＜b，
∴a-b＜0，
∴a+b-4＜0，
∴a+b＜4，
即當a+b＜4時，S₂＞S₁；

（2）當a=2時，y=-2+4=2，
∴點A的坐標為（2，2），
y=0時，-x+4=0，
解得x=4，
∴點N（4，0），
設經過N（4，0）、A（2，2）、O（0，0）的拋物線為y=ax²+bx，
則，
解得，
所以，拋物線解析式為y=-x²+2x=-（x-2）²+2，
所以，點A（2，2）是拋物線的頂點，
所以，直線AA₁就是拋物線的對稱軸，AD、PG是底邊，AG、DP是等腰梯形的腰，
b=3時，y=-3+4=1，
∴點B的坐標為（3，1），
易求直線OB的解析式為y=x，
x=2時，y=，
∴點D的坐標為（2，），
∴AD=2-=，
設點P的橫坐標為m，則點P的坐標為（m，m），點G的坐標為（m，-m²+2m），
∴PG=-m²+2m-m=-m²+m，
過點P作PE⊥AD于E，則PE=m-2，PE∥x軸，
∴∠EPD=∠BOB₁，
∴△DPE∽△BOB₁，
∴=，
即=，
解得DE=，
∵四邊形ADPG為等腰梯形，
∴PG=AD-2DE，
即-m²+m=-2×，
整理得，3m²-14m+16=0，
解得m₁=，m₂=2（P、D重合，不符合題意，舍去），
m=×=，
所以，點P的坐標為（，），
故，存在點P（，），使得四邊形ADPG為等腰梯形．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了一次函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求二次函數解析式，三角形的面積，等腰梯形的性質，（2）難度較大，根據二次函數解析式與直線解析式表示出AD、PG的長，再根據等腰梯形的性質列出方程是解題的關鍵，也是本題的難點，作出圖形更形象直觀．