Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC于點D，E，DG⊥AC于點G，交AB的延長線于點F．

（1）求證：直線FG是⊙O的切線；
（2）若AC=10，cosA=，求CG的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1，連接OD，

∵AB=AC，

∴∠C=∠ABC，

∵OD=OB，

∴∠ABC=∠ODB，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∴∠ODG=∠DGC，

∵DG⊥AC，

∴∠DGC=90°，

∴∠ODG=90°，

∴OD⊥FG，

∵OD是⊙O的半徑，

∴直線FG是⊙O的切線．

（2）

解：如圖2，

∵AB=AC=10，AB是⊙O的直徑，

∴OA=OD=10÷2=5，

由（1），可得

OD⊥FG，OD∥AC，

∴∠ODF=90°，∠DOF=∠A，

在△ODF和△AGF中，

∴△ODF∽△AGF，

∴，

∵cosA=，

∴cos∠DOF=，

∴==，

∴AF=AO+OF=5，

∴，

解得AG=7，

∴CG=AC﹣AG=10﹣7=3，

即CG的長是3．

【解析】（1）首先判斷出OD∥AC，推得∠ODG=∠DGC，然后根據DG⊥AC，可得∠DGC=90°，∠ODG=90°，推得OD⊥FG，即可判斷出直線FG是⊙O的切線．
（2）首先根據相似三角形判定的方法，判斷出△ODF∽△AGF，再根據cosA=，可得cos∠DOF=；然后求出OF、AF的值，即可求出AG、CG的值各是多少．
【考點精析】認真審題，首先需要了解切線的判定定理(切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線)，還要掌握相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關知識才是答題的關鍵．