Question

如圖，在?ABCD中，BD=2AB，AC與BD相交于點O，點E、F、G分別是OC、OB、AD的中點．
求證：（1）DE⊥OC；
（2）EG=EF．

Answer 1

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC與BD相交于點O，
∴BD=2OD，AB=CD，AD=BC．…
∵BD=2AB，
∴OD=AB=CD．…
∵點E是OC的中點，
∴DE⊥OC．…

（2）∵DE⊥OC，點G是AD的中點，
∴EG=AD； …
∵點E、F分別是OC、OB的中點．
∴EF=BC．…
∵AD=BC，
∴EG=EF．…
分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，AC與BD相交于點O，根據平行四邊形的性質，即可得BD=2OD，AB=CD，AD=BC，又由BD=2AB，可得△ODC是等腰三角形，根據三線合一的性質，即可證得DE⊥OC；
（2）由DE⊥OC，點G是AD的中點，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得EG=AD，又由三角形中位線的性質，求得EF=BC，則可證得EG=EF．
點評：此題考查了平行線的性質、直角三角形的性質、等腰三角形的判定與性質以及三角形中位線的性質．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．