Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c（c＞0）與y軸交于點C，頂點為A，拋物線的對稱軸交x軸于點E，交BC于點D，tan∠AOE＝．直線OA與拋物線的另一個交點為B．當OC＝2AD時，c的值是_____．

Answer 1

【答案】或．

【解析】

設A（2m，3m）、B（2n，3n），分點A在線段OB上及點B在線段OA上兩種情況，由OC＝2AD，利用相似三角形的性質可得出m、n間的關系，將A、B點坐標代入拋物線與拋物線對稱軸x＝2m聯立方程組，解方程組即可求得c的值．

解：由tan∠AOE＝，可設A、B點坐標分別為（2m，3m）、（2n，3n），

∵AD∥OC，

∴∠ADB＝∠OCB，∠DAB＝∠COA，

∴△BAD∽△BOC．

①當點A在線段OB上時，如圖1所示．

∵OC＝2AD，

∴D點為線段BC的中點，

∵C（0，c），B（2n，3n），

∴D點橫坐標為＝n，

由題意知A、D點均在拋物線的對稱軸上，

∴n＝2m，

∴B點坐標為（4m，6m），

∵A，B在拋物線上，且拋物線對稱軸為x＝2m，

∴有，

解得：，或，

∵c＞0，

∴c＝；

②當點B在線段OA上時，如圖2所示．

∵OC＝2AD，

∴OB＝2AB．

∵C（0，c），B（2n，3n），

∴D點橫坐標為×2n＝3n，

由題意知A、D點均在拋物線的對稱軸上，

∴n＝m，

∴B點坐標為（m，2m），

∵A，B在拋物線上，且拋物線對稱軸為x＝2m，

∴有，

解得：，或．

∵c＞0，

∴c＝．

綜上所述：c的值為或．

故答案為：或．