Question

【題目】△ABC為等邊三角形，O為BC的中點，D、E分別在邊AB、AC上．如圖1．

（1）若∠DOE=120°，求證：OD=OE；

（2）如圖2，BD=4，CE=2，M是DE的中點，求OM的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）MO．

【解析】

（1）根據題意以O為圓心，OD長為半徑畫弧，交AB于點H，連接OH，則OH＝OD，根據△ABC為等邊三角形，∠DOE＝120°，可知∠OEC＝∠ADO，則可證出△BHO≌△CEO，可得OH＝OE，即OD＝OE；

（2）由題意連接BE，取BE的中點G，連接MG并延長交BC于點H，連接GO，過點O作OJ垂直MH，M為DE中點，G為BE中點，則MG∥DB，MG＝DB，∠MHO＝∠ABC＝60°，點O為BC的中點，點G為BE的中點，則GO∥EC，GO＝EC＝1，∠GOH＝∠C＝60°，可推出HG＝HO＝GO＝1，GJ＝，OJ＝，在Rt△MOJ中，（）2+（）2＝MO2，解得MO＝．

解：（1）如圖1所示，

以O為圓心，OD長為半徑畫弧，交AB于點H，連接OH，則OH=OD．

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠B=∠C=∠A=60°，

∵∠DOE=120°，

∴∠A+∠DOE=180°，

∴∠ADO+∠AEO=180°，

∵∠OEC+∠AEO=180°，

∴∠OEC=∠ADO，

∵∠HDO=∠DHO，

∴∠BHO=∠ADO=∠OEC，

∵O為BC的中點，

∴BO=OC，

∴△BHO≌△CEO(AAS)，

∴OH=OE，

∴OD=OE．

（2）如圖2所示，

連接BE，取BE的中點G，連接MG并延長交BC于點H，連接GO，過點O作OJ垂直MH．

∵M為DE中點，G為BE中點，

∴MG∥DB，MGDB=2，

∴∠MHO=∠ABC=60°，

∵點O為BC的中點，點G為BE的中點，

∴GO∥EC，GOEC=1，

∴∠GOH=∠C=60°，

△GOH為等邊三角形，

∴HG=HO=GO=1，

∴GJ，OJ，

在Rt△MOJ中，

()2+()2=MO2，

解得：MO．