Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a為常數）．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若對任意的 ，都存在x0∈（0，1]使得不等式 成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=lnx+x2﹣2ax+1，得 ，

令h（x）=2x2﹣2ax+1．

①當a≤0時，h（x）＞0，則f'（x）＞0成立，

△=4a2﹣8，當 時，△≤0，則2x2﹣2ax+1≥0，h（x）≥0，即f'（x）≥0恒成立，

∴當 時，f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增；

②當 時，由2x2﹣2ax+10≥0，得 或 ，

由2x2﹣2ax+10＜0，得 ．

∴f（x）在 上單調遞增，在 單調遞減；

（2）解：∵ ，

∴f'（x）＞0，f（x）在（0，1]單調遞增，f（x）max=f（1）=2﹣2a，

存在x0∈（0，1]使得不等式 成立，

即2﹣2a+lna＞m（a﹣a2），

∵任意的 ，∴a﹣a2＜0，即 恒成立，

令 ，則 ，

∵任意的 ， ，

∴ 是增函數，

∴ ，

∵ 恒成立，

∴實數m的取值范圍 ．

【解析】（1）求出原函數的導函數，當a≤0時，導函數恒大于0，然后利用二次函數的判別式對a分類討論求出導函數在不同區間內的符號，得到原函數的單調性；（2）由（1）知， 時，函數f（x）在（0，1]上單調遞增，求出函數在（0，1]上的最大值2﹣2a，把存在x0∈（0，1]使得不等式 成立轉化為2﹣2a+lna＞m（a﹣a2），得到 恒成立，構造函數 ，求導可知為增函數，得其最大值，則實數m的取值范圍可求．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．