Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，取EF的中點G，連接CG，BG，BD，DG，下列結論：
①BE=CD；
②∠DGF=135°；
③∠ABG+∠ADG=180°；
④若=，則3S△BDG=13S△DGF ．
其中正確的結論是 寫所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①③④
【解析】∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，∠AEB=45°，
∵AB=CD，
∴BE=CD，
故①正確；
∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∵點G為EF的中點，
∴CG=EG，∠FCG=45°，
∴∠BEG=∠DCG=135°，
在△DCG和△BEG中，
，
∴△DCG≌△BEG（SAS）．
∴∠BGE=∠DGC，
∵∠BGE＜∠AEB，
∴∠DGC=∠BGE＜45°，
∵∠CGF=90°，
∴∠DGF＜135°，
故②錯誤；
∵∠BGE=∠DGC，
∴∠ABG+∠ADG=∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG=∠ABC+∠ADC=180°，
故③正確；
∵=，
∴設AB=2a，AD=3a，
∵△DCG≌△BEG，
∵∠BGE=∠DGC，BG=DG，
∵∠EGC=90°，
∴∠BGD=90°，
∵BD==a，
∴BG=DG=a，
∴S△BDG=×a×a=a2
∴3S△BDG=a2 ，
過G作GM⊥CF于M，
∵CE=CF=BC﹣BE=BC﹣AB=a，
∴GM=CF=a，
∴S△DGF=DFGM=×3a×a=a2 ，
∴13S△DGF=a2 ，
∴3S△BDG=13S△DGF ，
故④正確．
故答案為：①③④．

先求出∠BAE=45°，判斷出△ABE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得AB=BE，∠AEB=45°，從而得到BE=CD，故①正確；
再求出△CEF是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得CG=EG，再求出∠BEG=∠DCG=135°，然后利用“邊角邊”證明△DCG≌△BEG，得到∠BGE=∠DGC，由∠BGE＜∠AEB，得到∠DGC=∠BGE＜45°，∠DGF＜135°，故②錯誤；
由于∠BGE=∠DGC，得到∠ABG+∠ADG=∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG=∠ABC+∠ADC=180°，故③正確；
由△BGD是等腰直角三角形得到BD==a ， 求得S△BDG ， 過G作GM⊥CF于M，求得S△DGF ， 進而得出答案．