Question

如圖①，在Rt△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，G、F分別是AB、AC上的兩點，且GF∥BC，AF=2，BG=4．
（1）求梯形BCFG的面積；
（2）有一梯形DEFG與梯形BCFG重合，固定△ABC，將梯形DEFG向右運動，直到點D與點C重合為止，如圖②．
①若某時段運動后形成的四邊形BDG'G中，DG⊥BG'，求運動路程BD的長，并求此時G'B²的值；
②設運動中BD的長度為x，試用含x的代數式表示出梯形DEFG與Rt△ABC重合部分的面積S．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
又∵GF∥BC，
∴∠AGF=∠AFG=45°．
∴AG=AF=2，AB=AC=6．
∴S_梯形GBCF=S_△ABC-S_△AGF=．

（2）①∵在運動過程中有DG′∥BG且DG′=BG，∴BDG′G是平行四邊形．
當DG⊥BG′時，BDG′G是菱形．
∴BD=BG=4．
如圖③，當BDG′G為菱形時，過點G′作G′M⊥BC于點M．
在Rt△G′DM中，∠G′DM=45°，DG′=4，
∴DM=G′M且DM²+G'M²=DG'²．
∴DM=G′M=，
∴BM=．連接G′B．
在Rt△G′BM中，．
②當0≤x≤時，其重合部分為梯形，如圖②．
在Rt△AGF與Rt△ABC中，，．
過G點作GH垂直BC于點H，得GH=．
由①，知BD=GG′=x，DC=，．
∴S_梯形=．
當≤x≤時，其重合部分為等腰直角三角形，如圖③．
∵斜邊DC=，斜邊上的高為，
∴．

分析：（1）在Rt△ABC中由AB=AC得到∠ABC=∠ACB=45°．又由GF∥BC得到∠AGF=∠AFG=45°，由此得到AG=AF=2，AB=AC=6，而S_梯形GBCF=S_△ABC-S_△AGF，所以梯形的面積就可以求出了；
（2）①根據運動過程知道BDG′G是平行四邊形，又DG⊥BG′，所以BDG′G是菱形，由此得到BD=BG=4，如圖③過點G′作G′M⊥BC于點M，在Rt△G′DM中，∠G′DM=45°，DG′=4可以得到DM=G′M且DM²+G'M²=DG'²，求出DM=G'M=2，接著得到BM=4+2，然后在Rt△G′BM中，根據勾股定理可以求出BG'²；②當o≤x≤時，其重合部分為梯形，如圖②．在Rt△AGF與Rt△ABC中分別求出GF，BC，過G點作GH垂直BC于點H，得GH=2，由①知BD=GG′=x，DC=6-x，G'F'=2-x，現在就可以用x表示S了．當≤x≤時，其重合部分為等腰直角三角形，如圖③．斜邊DC=6-x，斜邊上的高為，現在也可以用x表示s了．
點評：在有關動點的幾何問題中，由于圖形的不確定性，我們常常需要針對各種可能出現的圖形對每一種可能的情形都分別進行研究和求解．換句話說，分類思想在動態問題中運用最為廣泛．