Question

如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，問：在線段AB上是否存在點P，使得以P、A、D為頂點的三角形和以P、B、C為頂點的三角形相似？若不存在，請說明理由；若存在，這樣的點P共有幾個？并請你求出AP的長．

Answer 1

分析：根據相似三角形的判定與性質，當若點A，P，D分別與點B，C，P對應，與若點A，P，D分別與點B，P，C對應，分別分析得出AP的長度即可．

解答：解：若點A，P，D分別與點B，C，P對應，即△APD∽△BCP，
∴

AD

BP

=

AP

BC

，
∴

2

7-AP

=

AP

3

，
∴AP²-7AP+6=0，
∴AP=1或AP=6，
檢測：當AP=1時，由BC=3，AD=2，BP=6，
∴

AP

BC

=

AD

BP

，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△APD∽△BCP．
當AP=6時，由BC=3，AD=2，BP=1，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△APD∽△BCP．
若點A，P，D分別與點B，P，C對應，即△APD∽△BPC．
∴

AP

BP

=

AD

BC

，
∴

AP

7-AP

=

2

3

，
∴AP=

14

5

．
檢驗：當AP=

14

5

時，∵BP=

21

5

，AD=2，BC=3，
∴

AP

BP

=

AD

BC

，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△APD∽△BPC．
因此，點P的位置有三處，即在線段AP的長為1、

14

5

、6處．

點評：此題考查了相似三角形的判定和性質，根據P點不同位置進行分析，解題時要注意一題多解的情況，要注意別漏解是解題關鍵．