Question

已知，在△ABC中，作AD⊥BC于D，且AD=BD，作BE⊥AC于E，AD和BE所在的直線交于H點．
（1）如圖，當∠ABC為銳角時，請找出圖中與BH相等的線段，并說明理由；
（2）當∠ABC為鈍角時，其它條件不變，（1）中的結論還成立嗎？請畫出圖形并說明理由．

Answer 1

解：（1）AC=BH．理由如下：
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠CBE=∠CAD，
在△ADC和△BDH中，
，
∴△ADC≌△BDH，
∴AC=BH；

（2）（1）中的結論成立，即仍然有AC=BH．理由如下：
如圖，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，
∴∠CBE=∠CAD，
在△ADC和△BDH中，
，
∴△ADC≌△BDH（AAS），
∴AC=BH．
分析：（1）AC=BH．由∠ADC=∠BEC=90°，根據等角的余角相等得到∠CBE=∠CAD，然后根據“ASA”得到△ADC≌△BDH，利用全等三角形的性質即可得到AC=BH；
（2）先作出圖形，仍然有AC=BH．證明的方法和（1）一樣．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質：有兩組角對應相等，并且有一條邊對應相等的兩個三角形全等；全等三角形的對應邊相等，對應角相等．