Question

已知：如圖，拋物線與軸的交點是、，與軸的交點是C.

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）設（0<<6）是拋物線上的動點，過點P作PQ∥y軸交直線BC于點Q.

①當取何值時，線段PQ的長度取得最大值？其最大值是多少?

②是否存在這樣的點P，使△OAQ為直角三角 形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（1）∵拋物線過A（3，0），B（6，0），

                             

            解得：                  

            ∴所求拋物線的函數表達式是

      （2）①∵當x=0時，y=2，

             ∴點C的坐標為（0，2）.

設直線BC的函數表達式是.

則有

解得：

∴直線BC的函數表達式是.  

∴

  =                   

=.                 

∴當時，線段PQ的長度取得最大值.最大值是1.

②當時，點P與點A重合，∴P（3，0）  

            當時，點P與點C重合，∴（不合題意）

            當時，

            設PQ與軸交于點D.  

            ，

            .

            又

              ∴⊿ODQ∽⊿QDA. ∴，即.

              ∴，

               ，∴.   

              ∴.

              ∴或.

              ∴所求的點P的坐標是P（3，0）或或.

          解法二：

 當時，點P與點A重合，∴P（3，0）   

           當時，點P與點C重合，∴（不合題意）

當時，設PQ與軸交于點D.

           在中，，

           在中，

           在中，，

           ∴.

            ，∴. 

           ∴.

           ∴或.

           ∴所求的點P的坐標是P（3，0）或或.