Question

【題目】如圖1，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，CD平分∠ACB交⊙O于點D，交AB于點E．

（1）求證：△ABD為等腰直角三角形；

（2）如圖2，ED繞點D順時針旋轉90°，得到DE′，連接BE′，證明：BE′為⊙O的切線；

（3）如圖3，點F為弧BD的中點，連接AF，交BD于點G，若DF＝1，求AG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）2．

【解析】

（1）由AB是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，即可得∠ADB=90°，又由CD平分∠ACB，根據圓周角定理，可得AD=BD，繼而可得△ABD是等腰直角三角形；
（2）證明△ADE≌△BDE'，可得∠DAE=∠DBE'，則∠OBE'=∠ABD+∠DBE'=90°，結論得證；
（3）取AG的中點H，連結DH，則DH=AH=GH，求出DH=DF=1，則答案可求出．

（1）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝∠ACB＝90°，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠DCB，

∴，

∴AD＝BD，

∴△ABD是等腰直角三角形．

（2）由旋轉的性質得，∠EDE'＝90°，DE＝DE'，

∵∠ADB＝90°，

∴∠ADE＝∠BDE'，

∵AD＝BD，

∴△ADE≌△BDE'（SAS），

∴∠DAE＝∠DBE'，

∵∠EAD＝∠DCB＝45°，∠ABD＝∠DCA＝45°，

∴∠OBE'＝∠ABD+∠DBE'＝90°，

∴BE′為⊙O的切線；

（3）解：∵點F為的中點，

∴∠FAD＝∠DAB＝22．5°，

取AG的中點H，連結DH，

∵∠ADB＝90°，

∴DH＝AH＝GH，

∴∠ADH＝∠FAD＝22．5°，

∴∠DHF＝∠ADH+∠FAD＝45°，

∵∠AFD＝∠ACD＝45°，

∴∠DHF＝∠AFD，

∴DH＝DF＝1，

∴AG＝2DH＝2．