Question

【題目】等邊△ABC與正方形DEFG如圖1放置，其中D，E兩點分別在AB，BC上，且BD＝BE．

（1）求∠DEB的度數；

（2）當正方形DEFG沿著射線BC方向以每秒1個單位長度的速度平移時，CF的長度y隨著運動時間變化的函數圖象如圖2所示，且當t=時，y有最小值1；

①求等邊△ABC的邊長；

②連結CD，在平移的過程中，求當△CEF與△CDE同時為等腰三角形時t的值；

③從平移運動開始，到GF恰落在AC邊上時，請直接寫出△CEF外接圓圓心的運動路徑的長度．

Answer 1

【答案】（1）∠BED＝60°；（2）①2+2；②t＝2﹣2或2+2；③．

【解析】

（1）證明△BDE是等邊三角形即可解決問題．

（2）①如圖2中，正方形DEFG平移過程中，FF′∥BC，易證四邊形EFF′E′是平行四邊形，由題意，當CF′⊥BC時，CF′的值最小，此時CF′＝1，解直角三角形求出E′F′，CE′即可．

②分兩種情形分別畫出圖象求解即可．

③如圖5中，設△CE′F′的外接圓的圓心為I，連接IE′，CI，IF′，設直線FF′交AC于H，在CB上取一點J，使得CH＝CJ，連接JH，IJ．證明△HCF′≌△JCI（SAS），推出JI＝HF′，即可解決問題．

解：（1）如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B＝60°，

∵BD＝BE，

∴△BDE是等邊三角形，

∴∠BED＝60°．

（2）①如圖2中，

如圖正方形DEFG平移過程中，FF′∥BC，易證四邊形EFF′E′是平行四邊形，

由題意，當CF′⊥BC時，CF′的值最小，此時CF′＝1，

在Rt△CE′F′中，∵∠E′CF′＝90°，∠F′E′C＝30°，CF′＝1，

∴EF＝E′F′＝2，CE′＝，

∵t＝EE′＝，

∴EE′＝CE′＝，

∵BE＝DE＝EF＝2，

∴BC＝BE+EE′+CE′＝2+2．

②如圖3中，當E′D′＝E′F′＝CE′＝2時，△CEF與△CDE同時為等腰三角形，此時t＝EE′＝BC﹣BE﹣CE′＝2+2﹣4＝2﹣2．

如圖4中，當E′C＝E′D′＝E′F′＝2時，△CEF與△CDE同時為等腰三角形，此時t＝EE′＝BC+CE′﹣BE＝BC＝2+2．

綜上所述，t＝2﹣2或2+2時，△CEF與△CDE同時為等腰三角形．

③如圖5中，設△CE′F′的外接圓的圓心為I，連接IE′，CI，IF′，設直線FF′交AC于H，在CB上取一點J，使得CH＝CJ，連接JH，IJ．

∵IE′＝IF′＝IC，

∴∠F′E′C＝∠F′IC，

∵∠F′E′C＝30°，

∴∠CJF′＝60°，

∴△CIF′是等邊三角形，

∵CH＝CJ，∠HCJ＝60°，

∴△HCJ是等邊三角形，

∴CH＝CJ，CF′＝CI，∠HCJ＝∠F′CI＝60°，

∴∠HCF′＝∠JCI，

∴△HCF′≌△JCI（SAS），

∴F′H＝IJ，∠CHF′＝∠CJI＝120°，

∴點I的運動軌跡是線段，且JI＝HF′，

由①可知FH＝，

∴△CEF外接圓圓心的運動路徑的長度為．