Question

設拋物線y=ax²+bx+c與X軸交于兩不同的點A（-1，0），B（m，0），（點A在點B的左邊），與y軸的交點為點C（0，-2），且∠ACB=90°．
（1）求m的值和該拋物線的解析式；
（2）若點D為該拋物線上的一點，且橫坐標為1，點E為過A點的直線y=x+1與該拋物線的另一交點．在X軸上是否存在點P，使得以P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）連接AC、BC，矩形FGHQ的一邊FG在線段AB上，頂點H、Q分別在線段AC、BC上，若設F點坐標為（t，0），矩形FGHQ的面積為S，當S取最大值時，連接FH并延長至點M，使HM=k•FH，若點M不在該拋物線上，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令x=0，得y=-2，
∴C（0，-2），
∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OA•OB=OC²，
∴OB=，
∴m=4，
將A（-1，0），B（4，0）代入y=ax²+bx-2，
得 ，
∴拋物線的解析式為y=x²-x-2．

（2）D（1，n）代入y=x²-x-2，得n=-3，
可得 （不合題意舍去），，
∴E（6，7）．
過E作EH⊥x軸于H，則H（6，0），
∴AH=EH=7，
∴∠EAH=45°．
過D作DF⊥x軸于F，則F（1，0），
∴BF=DF=3，
∴∠DBF=45°，
∴∠EAH=∠DBF=45°，
∴∠DBH=135°，
90°＜∠EBA＜135°．
則點P只能在點B的左側，有以下兩種情況：
①若△DBP₁∽△EAB，則 ，
∴BP₁===，
∴OP₁=4-=，
∴P₁（ ，0）．
②若△DBP₂∽△BAE，則 ，
∴BP₂===，
∴OP₂=-4=，
∴P₂（-，0）．
綜合①、②，得點P的坐標為：P₁（ ，0）或P₂（-，0）．

（3）∵HQ∥AB
∴△CHQ∽△CAB
∴HQ：AB=CR：CO，
即：設HG=x，則=
解得：HQ=-x+5
∴矩形的面積S=HG•HQ=-x²+5x
當x=-=1時，面積取得最大值．則H，R，Q的縱坐標是-1．
則HQ=-×1+5=
設直線AC的解析式是y=kx+b
根據題意得：，解得：
則AC的解析式是：y=-2x-2
在解析式中，令x=-1，解得：y=0
則H的坐標是（-，-1）．F的坐標是（2，0）．則HF=．
設直線FH的解析式是y=kx+b
根據題意得：
解得：，
則直線FH的解析式是y=x-．
解方程組：，
解得：x=．
當直線與拋物線相交時，k===或=．
則k的范圍是：k≠且k≠．
分析：（1）根據拋物線的解析式可知C點坐標為（0，-2），即OC=2，由于∠ACB=90度，根據射影定理OC²=OA•AB，可求出AB的長，進而可求出B點的坐標，也就求出了m的值，然后將A、B的坐標代入拋物線中即可求出其解析式．
（2）可先根據拋物線的解析式和直線AE的解析式求出E點和D點的坐標，經過求解不難得出∠FAB=∠DBO=45°，因此本題要分兩種情況進行討論：①∠DPB=∠ABE；②∠PDB=∠ABE．可根據對應的相似三角形得出的成比例線段求出OP的長，進而可求出P點的坐標．
（3）根據相似三角形對應邊上高的比等于相似比，以及二次函數的性質即可求得H，F的坐標，根據相似三角形的性質，即可求得直線HF與拋物線的交點的橫坐標，即可求得對應的k的值，從而確定當不與拋物線相交時k的范圍．
點評：本題考查二次函數解析式的確定，二次函數求最值、函數圖象交點、三角形相似的性質，等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．