Question

【題目】如圖，在△ABC中，點D是邊BC的中點，DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分別是E、F，且BF=CE．

（1）求證：DE=DF；

（2）當∠A=90°時，試判斷四邊形AFDE是怎樣的四邊形，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形AFDE是正方形．理由見解析.

【解析】

試題

（1）由已知條件可由“HL”證Rt△DBF≌Rt△DCE，從而可得：DE=DF；

（2）由∠A=∠DFA=∠DEA=90°可證得四邊形AFDE是矩形，結合DF=DE，可得四邊形AFDE是正方形.

試題解析：

（1）∵D是BC的中點，

∴BD=CD，

∵DE⊥AC，DF⊥AB，

∴∠BFD=∠CED=90°，

在Rt△BDF和Rt△CDE中， ，

∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），

∴DE=DF；

（2）當∠A=90°時，四邊形AFDE是正方形．理由如下：

∵DE⊥AC，DF⊥AB，

∴∠DEA=∠DFA=90°，

又∵∠A=90°，

∴四邊形AFDE是矩形，

又∵DF=DE，

∴四邊形AFDE是正方形．