Question

在一個面積為l的正方形中構造一個如下的小正方形：將正方形的各邊n等分，然后將每個頂點和它相對頂點最近的分點連接起來，如圖所示，若小正方形面積為

1

3281

，求n的值．

Answer 1

分析：根據已知條件可得A₁B=

n-1

n

，CC₁=

1

n

，A₁C=

12+( n-1 n )2

，然后過C₁作
C₁P⊥A₁C于P，利用Rt△A₁BC∽Rt△CPC₁，可得C₁P，將小正方形面積為

1

3281

，代入即可得出答案．

解答：解：A₁B=

n-1

n

，CC₁=

1

n

，A₁C=

12+( n-1 n )2

，
過C₁作C₁P⊥A₁C于P，則Rt△A₁BC∽Rt△CPC₁，
得C₁P=

BC×CC1

A1C

=

1

2n2-2n+1

．
∵S_面=

1

3281

，∴C₁P²=

1

2n2-2n+1

=

1

3281

，
得（n-41）（n+40）=0，故n_₁=41，n_₂=-40（舍去）．
故答案為：41．

點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定與性質，勾股定理，正方形的性質等知識點的理解與掌握，解答此題的關鍵是
過C₁作C₁P⊥A₁C于P，利用Rt△A₁BC∽Rt△CPC₁，求得C₁P，這是此題的突破點．