Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點E是AD的中點，連結BE，且BE⊥AC交AC于點F．

（1）求證：△EAB∽△ABC；

（2）若AD＝2，求AB的長；

（3）在（2）的條件下，求DF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AB＝；（3）DF＝．

【解析】

（1）根據矩形的性質得到∠BAD＝∠ABC＝90°，根據余角的性質得到∠BAC＝∠AEB，根據相似三角形的判定定理即可得到結論；

（2）根據相似三角形的性質即可得到結論；

（3）連接BD，根據相似三角形的性質得到＝，等量代換得到＝，推出△DEF∽△BED，根據相似三角形的性質列比例式即可得到結論．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠ABC＝90°，

∴∠ABE+∠AEB＝90°，

∵BE⊥AC，

∴∠AFB＝90°，

∴∠ABF+∠BAF＝90°，

∴∠BAC＝∠AEB，

∴△EAB∽△ABC；

（2）∵點E是AD的中點，AD＝2，

∴AE＝1，

∵△EAB∽△ABC，

∴，

∴AB＝＝＝；

（3）連接BD，

∵AC⊥BE，

∴∠AFB＝∠AFE＝90°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAE＝90°，

又∵∠AEF＝∠BEA，

∴△AEF∽△BEA，

∴＝，

∵點E是AD的中點，

∴AE＝ED，

∴＝，

又∵∠FED＝∠DEB，

∴△DEF∽△BED，

∴，

∵AD＝2，AE＝1，AB＝，

∴BD＝，BF＝，BE＝，

∴EF＝BE﹣BF＝﹣＝，

∴＝，

∴DF＝．