Question

【題目】如圖，在△ABC中，以BC為直徑的圓交AC于點D，∠ABD=∠ACB．
（1）求證：AB是圓的切線；
（2）若點E是BC上一點，已知BE=4，tan∠AEB= ，AB：BC=2：3，求圓的直徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BC是直徑，

∴∠BDC=90°，

∴∠ACB+∠DBC=90°，

∵∠ABD=∠ACB，

∴∠ABD+∠DBC=90°

∴∠ABC=90°

∴AB⊥BC，

∴AB是圓的切線

（2）解：在RT△AEB中，tan∠AEB= ，

∴ = ，即AB= BE= ，

在RT△ABC中， = ，

∴BC= AB=10，

∴圓的直徑為10

【解析】（1）欲證明AB是圓的切線，只要證明∠ABC=90°即可．（2）在RT△AEB中，根據tan∠AEB= ，求出BC，在RT△ABC中，根據 = 求出AB即可．
【考點精析】關于本題考查的切線的判定定理，需要了解切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能得出正確答案．