Question

下圖是行列間隔都為1個單位的點陣：
①你能計算點陣中多邊形的面積嗎？請將答案直接填入圖中橫線上．

②若用a表示多邊形內部的點數，b表示多邊形邊界上的點數，S表示多邊形的面積，你能用含a和b的代數式表示S=

 

；
③請你利用②中的公式來求a=4，b=20時，多邊形的面積S．

Answer 1

分析：（1）分別計算出各個多邊形的面積，通過歸納分析可以發現：多邊形的面積等于多邊形內部的點數加上

1

2

與多邊形邊界上的點數的乘積然后減去1．
（2）按照（1）中總結的規律，將表示多邊形內部的點數a，表示多邊形邊界上的點數b，表示多邊形的面積S代入即可得到答案．
（3）將a=4，b=20代入s=a+

1

2

b-1中，即可直接球的多邊形的面積．

解答：解：（1）因為點陣中行列間隔都為1個單位，
所以，第一個多邊形的面積為1=0+

1

2

×4-1；
第二個多邊形的面積為1=0+

1

2

×4-1；
第三個多邊形的面積為

3

2

=0+

1

2

×5-1；
第四個多邊形的面積為2=0+

1

2

×6-1；
第五個多邊形的面積為2=0+

1

2

×6-1；
第六個多邊形的面積為2=1+

1

2

×4-1；
第七個多邊形的面積為

5

2

=1+

1

2

×5-1；
第三個多邊形的面積為

7

2

=2+

1

2

×5-1；
通過計算，并對上述結果進行歸納總結可以發現：
等號左邊的數為多邊形的面積，等號右邊的第一個數是多邊形內部的點數，第二個和第四個數都是常數，
第三個數是多邊形邊界上的點數．
所以說多邊形的面積等于多邊形內部的點數加上

1

2

與多邊形邊界上的點數的乘積然后減去1．


（2）若用a表示多邊形內部的點數，b表示多邊形邊界上的點數，S表示多邊形的面積，
按照（1）中總結的規律，則有：s=a+

1

2

b-1．

（3）當a=4，b=20時，a+

1

2

b-1=4+10-1=13•

點評：此題主要考查學生對圖形變化類這個知識點的理解和掌握，解答此類題目的關鍵是根據題目中給出的圖形，數值等條件，認真分析，找到規律．此類題目難度一般偏大，屬于難題．