Question

如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線AB分別交x、y軸于A、B兩點，點A的坐標為（3，0），點B的坐標為（0，6），點C是x軸負半軸上一點，過O點作BC的垂線，垂足為D，過B點作AD的垂線交OD、AD于點F和點K，交AC于點E，OF：CD=2：3．
（1）求直線AB的解析式；
（2）動點P從B點出發沿BC方向向終點C勻速運動（不包括B、C兩點），速度為每秒2個單位長度，過P作x軸的平行線交AB于點N，設點P的運動時間為t，線段AN長為d，求d與t之間的函數關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，動點Q從A點出發沿AC方向向終點C勻速運動，速度為每秒個單位長度，設P、Q兩點同時出發，當一點到達終點時另一點停止運動，連接ON，當AD平分線段NQ時，求此時t的值．

Answer 1

解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（3，0）、B（0，6）代入y=kx+b，得，
解得：，
則直線AB的解析式為y=-2x+6；
（2）設AD與y軸交于點S，
∵OD⊥BC，
∴∠DCA+∠DOC=90°，
又∵∠FOB+∠DOC=90°，
∴∠DCA=∠FOB，
∵BE⊥AD，
∴∠BFA=90°，
∵x軸⊥y軸，
∴∠SOA=90°，
∴∠BFA=∠SOA，
又∵∠FSB=∠OSA，
∴∠FBO=∠DAC，
∴△DCA∽△FOB，
∴BC²=CE•CD，
∵BO=6，AO=3，
∴AC=9，
∴C（-6，0），
∴BC=6，AB=3，
當P在線段BC上運動時，
∵PN∥x軸，
∴=，即=，
∴d=-t+3（0＜t＜3）；
（3）設NQ與AD交于點M，延長AD到G，使得MG=AM，連接QG，
∵MN=MQ，∠AMN=∠QMG，
∴△ANM≌△GQM（SAS），
∴∠ANM=∠GQM，GQ=AN=d=-t+3，
∴AN∥GQ，
∴∠CQG=∠OAB，
∴tan∠OAB=tan∠GQC=2，過G點作GR⊥AC，垂足為R，
∴設RQ=a，則GR=2a，
∴GQ==a，
過D作DH⊥BO于點H，
∵OB=OC，∠ACB=45°，OD⊥BC，
∴CD=BD，DH=BH=HO=CO=3，
∴DH=AO，
在△DSH和△ASO中，∠HDA=∠DAO，DH=AO，∠DSH=∠AOS，
∴△DSH≌△ASO（ASA），
∴HS=SO=HO=，tan∠DAC===，
∴AR=4a，
∴AQ=AR-RQ=4a-3a=3a，
又∵AQ=t，GQ=AN=d=-t+3，
∴，
解得：t=．
分析：（1）設直線AB解析式為y=kx+b，將A與B坐標代入求出k與b的值，即可確定出AB解析式；
（2）設AD與y軸交于S點，利用相似三角形的判定與性質，求得一次函數解析式；
（3）設NQ與AD交于點M，延長AD到G，使得MG=AM，連接QG，利用三角形全等的判定與性質，相似三角形的判定與性質，以及一次函數解決問題．
點評：此題綜合考查了待定系數法求一次函數解析式，三角形全等的判定與性質，相似三角形的判定與性質以及有關銳角三角函數的意義等問題．