Question

如圖，已知等邊三角形ABC中，點D，E，F分別為邊AB，AC，BC的中點，M為直線BC上一動點，△DMN為等邊三角形(點M的位置改變時，△DMN也隨之整體移動)．

(1)如圖①，當點M在點B左側時，請你判斷EN與MF有怎樣的數量關系？點F是否在直線NE上？都請直接寫出結論，不必證明或說明理由；

(2)如圖②，當點M在BC上時，其它條件不變，(1)的結論中EN與MF的數量關系是否仍然成立？若成立，請利用圖②證明；若不成立，請說明理由；

(3)若點M在點C右側時，請你在圖③中畫出相應的圖形，并判斷(1)的結論中EN與MF的數量關系是否仍然成立？若成立？請直接寫出結論，不必證明或說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)判斷：EN與MF相等(或EN＝MF)，點F在直線NE上　　3分

　　(說明：答對一個給2分)

　　(2)成立　　4分

　　證明：

　　法一：連結DE，DF　　5分

　　∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC．

　　又∵D，E，F是三邊的中點，

　　∴DE，DF，EF為三角形的中位線．∴DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．

　　又∠MDF＋∠FDN＝60°，∠NDE＋∠FDN＝60°，

　　∴∠MDF＝∠NDE　　7分

　　在△DMF和△DNE中，DF＝DE，DM＝DN，∠MDF＝∠NDE，

　　∴△DMF≌△DNE　　8分

　　∴MF＝NE　　9分

　　法二：

　　延長EN，則EN過點F　　5分

　　∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC．

　　又∵D，E，F是三邊的中點，∴EF＝DF＝BF．

　　∵∠BDM＋∠MDF＝60°，∠FDN＋∠MDF＝60°，

　　∴∠BDM＝∠FDN　　7分

　　又∵DM＝DN，∠ABM＝∠DFN＝60°，

　　∴△DBM≌△DFN　　8分

　　∴BM＝FN．

　　∵BF＝EF，∴MF＝EN　　9分

　　法三：

　　連結DF，NF　　5分

　　∵△ABC是等邊三角形，

　　∴AC＝BC＝AC．

　　又∵D，E，F是三邊的中點，

　　∴DF為三角形的中位線，∴DF＝AC＝AB＝DB．

　　又∠BDM＋∠MDF＝60°，∠NDF＋∠MDF＝60°，

　　∴∠BDM＝∠FDN　　7分

　　在△DBM和△DFN中，DF＝DB，

　　DM＝DN，∠BDM＝∠NDF，∴△DBM≌△DFN．

　　∴∠B＝∠DFN＝60°　　8分

　　又∵△DEF是△ABC各邊中點所構成的三角形，

　　∴∠DFE＝60°．

　　∴可得點N在EF上，

　　∴MF＝EN　　9分

　　(3)畫出圖形(連出線段NE)　　11分

　　MF與EN相等的結論仍然成立(或MF＝NE成立)　　12分