Question

【題目】表示以為自變量的函數，則表示當時函數的值．例如，一次函數記作，當時，函數值．現給出新定義：對于函數，若存在實數，使得成立，則稱點是函數的“奇妙點”．

（1）求函數的“奇妙點”；

（2）當為何值時，函數存在“奇妙點”？

（3）若二次函數有且只有一個“奇妙點”，其圖象與軸交于兩點（點在點的左側），是軸上一動點．當的周長最短時，求點的坐標及的周長．

Answer 1

【答案】（1）是函數的“奇妙點”；（2）為任意實數時或時；（3）的周長為．

【解析】

（1）由題意得：4x+6＝2x+12，求出x＝3，則答案可求出；

（2）分三種不同情況討論：①當2a﹣2≠0，即a≠1，b為任意實數時，函數y＝2ax+3b﹣2有一個“奇妙點”；②當2a﹣2＝0且14﹣3b＝0，即a＝1，b＝時，函數y＝2ax+3b﹣2有無數個“奇妙點”；③當2a﹣2＝0且14﹣3b≠0，即a＝1，b≠時，函數y＝2ax+3b﹣2沒有“奇妙點”．

（3）由題意得方程ax2﹣2x+8＝2x+12有且只有一個解，求出A點坐標，可得二次函數y＝﹣x2﹣2x+8的圖象與x軸的交點為B（﹣4，0），C（2，0）．如圖，作點B關于y軸的對稱點B'，連接B'A交y軸于點P，則P點為所求，求出直線B'A的解析式為，則點P的坐標可求出，求出AB和AB'的長即可得出答案．

解：（1）由題意得：4x+6＝2x+12，

解得：x＝3．

∴（3，18）是函數y＝4x+6的奇妙點；

（2）由2ax+3b﹣2＝2x+12得（2a﹣2）x＝14﹣3b，

①當2a﹣2≠0，即a≠1，b為任意實數時，方程（2a﹣2）x＝14﹣3b有唯一解x＝，函數y＝2ax+3b﹣2有一個“奇妙點”；

②當2a﹣2＝0且14﹣3b＝0，即a＝1，b＝時，方程（2a﹣2）x＝14﹣3b的解為全體實數，函數y＝2ax+3b﹣2有無數個“奇妙點”；

③當2a﹣2＝0且14﹣3b≠0，即a＝1，b≠時，方程（2a﹣2）x＝14﹣3b無解，函數y＝2ax+3b﹣2沒有“奇妙點”．

（3）∵二次函數y＝ax2﹣2x+8（a≠0）有且只有一個“奇妙點”，

∴方程ax2﹣2x+8＝2x+12有且只有一個解，

該方程可化為ax2﹣4x﹣4＝0，

∴△＝（﹣4）2﹣4×（﹣4a）＝0，

解得，a＝﹣1，

∴y＝﹣x2﹣2x+8的“奇妙點”為A（﹣2，8），

∴二次函數的解析式為y＝﹣x2﹣2x+8，

∴二次函數y＝﹣x2﹣2x+8的圖象與x軸的交點為B（﹣4，0），C（2，0）．

如圖，作點B關于y軸的對稱點B'，連接B'A交y軸于點P，則P點為所求，

求得B'（4，0），

設直線直線B'A的解析式為y＝kx+b，

∴，

解得：，

∴直線B'A的解析式為，

∴P（0，）．

∴，，

∴△PAB的周長為．