Question

將兩個大小一樣的正方形ABCD和正方形CDEF如圖放置，點B、C、F在同一直線上，BF=12，再將一直角三角板的直角頂點放置在D點上，DP交AB于點M，DQ交BF于點N．
（1）求證：△DBM≌△DFN；
（2）將三角板DPQ的直角頂點繞點D旋轉時，四邊形DMBN的面積是否變化？如果不變，請簡要說明理由并求出它的面積；
（3）分別延長正方形的邊CB和邊EF，使它們的延長線分別與直角三角板的兩邊DP、DQ（或它們的延長線）交于點G和點H，試探究下列問題：
①線段BG與FH相等嗎？說明你的理由；
②當線段FN的長是方程x²+x-12=0的一根時，試求出的值．

Answer 1

（1）證明：在大小一樣的正方形ABCD和正方形CDEF中，
∠ABD=∠DFC=45°，BD=DF，
∵∠PDQ=90°，
∴∠BDM+∠BDN=90°，
又∵∠FDN+∠BDN=45°+45°=90°，
∴∠BDM=∠FDN，
∵在△DBM和△DFN中，
，
∴△DBM≌△DFN（SAS）；

（2）∵△DBM≌△DFN，
∴S_△BDM=S_△FDN，
∴四邊形DMBN的面積等于△BDF的面積，
∵BF=12，
∴CD=×12=6，
∴S_△BDF=BF•CD=×12×6=36；

（3）①∵∠ABD=∠DFC=45°，
∴∠ABD+90°=∠DFC+90°，
即∠DBG=∠DFH，
∵在△BDG和△FDH中，
，
∴△BDG≌△FDH（ASA），
∴BG=FH；

②解x²+x-12=0得，x₁=-4（舍去），x₂=3，
∴FN=3，
∵△DBM≌△DFN，
∴BM=FN=3，
∵BF=12，正方形ABCD和正方形CDEF大小一樣，
∴BN=12-3=9，AB=×12=6，
∵tan∠AMD=tan∠BMG，
∴=，
即=，
解得BG=6，
∵△BDG≌△FDH，
∴FH=BG=6，
∴NG=BG+BN=6+9=15，
根據勾股定理，NH===3，
∴==．
分析：（1）根據正方形的對角線平分一組對角可得∠ABD=∠DFC=45°，BD再根據同角的余角相等求出∠BDM=∠FDN，然后利用“邊角邊”證明△DBM和△DFN全等即可；
（2）根據全等三角形的面積相等可得△BDM和△FDN的面積相等求出四邊形DMBN的面積等于△BDF的面積，為定值；
（3）①先求出∠DBG=∠DFH，然后利用“角邊角”證明△BDG和△FDH全等，再根據全等三角形對應邊相等即可得證；
②先解方程求出FN的長，即BM的長，然后求出AM，然后根據等角的三角函數值求出BG=AD=6，從而得到NG，再利用勾股定理列式求出NH的長，代入數據進行計算即可得解．
點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，此類題目利用相同的思路求出兩個三角形全等是解題的關鍵．