Question

【題目】已知，在以O為原點的直角坐標系中，拋物線的頂點為A（1，4），且經過點B（2，3），與x軸交于C、D兩點．

（1）求直線OB的函數表達式和該拋物線的函數表達式；

（2）如圖1，點P是x軸上方的拋物線上一動點，過點P作直線PF⊥x軸于點F，交直線OB于點E．若PE=3EF，求出P點的橫坐標；

（3）如圖2，點M是拋物上的一個動點，且在直線OB的上方，過點M作x軸的平行線與直線OB交于點N，T是拋物線對稱軸上一點，當MN最大且△MDT周長最小時，直接寫出T的坐標．

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣2x+5；(2) P點的橫坐標為4﹣; (3) T的坐標為（1，3）．

【解析】

（1）由B點坐標利用待定系數法可求直線OB解析式，利用頂點式可求得拋物線解析式；

（2）設P（x，x2-2x+5），則可表示出E點坐標，由PE=3EF可得到方程解答即可；

（3）當M與B關于拋物線的對稱軸對稱時，MN最大，進而得出T的坐標．

（1）設直線OB解析式為y=kx，由題意可得3=2k，解得k=1.5，

∴直線OB解析式為y=1.5x，

∵拋物線頂點坐標為（1，4），

∴可設拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+4，

∵拋物線經過B（2，3），

∴3=a+4，解得a=1，

∴拋物線為y=x2﹣2x+5；

（2）設P（x，x2﹣2x+5），E點坐標為（x，1.5x），

∵PE=3EF，

∴x2﹣2x+5=4×1.5x，

解得：，（不合題意，舍去）

P點的橫坐標為4﹣．

（3）當M與B關于拋物線的對稱軸對稱時，MN最大，此時B與N重合，

此時M的坐標為（0，3），

當MT垂直對稱軸時，△MDT周長最小，

此時T的坐標為（1，3）．