Question

如圖所示，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），…P_n（x_n，y_n）在函數y=

4

x

（x＞0）的圖象上，△OP₁A₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃…△P_nA_n-1A_n…都是等腰直角三角形，斜邊OA₁，
A₁A₂…A_n-1A_n，都在x軸上，則y₁₌

 

．y₁+y₂+…y_n=

 

．

Answer 1

分析：根據等腰直角三角形的性質，知P₁的橫、縱坐標相等，再結合雙曲線的解析式求得該點的縱坐標；根據等腰直角三角形的性質和雙曲線的解析式首先求得各個點的橫坐標，再進一步求得其縱坐標，發現抵消的規律，從而求得代數式的值．

解答：解：（1）由△P₁OA₁是等腰直角三角形，得y₁=x₁，
則有y₁²=4，故y₁=±2（負舍），則y₁=2．
（2）由題意知y₂=x₂-x₁-y₁，y₃=x₃-x₂-y₂，y₄=x₄-x₃-y₃，…，y₁₀=x₁₀-x₉-y₉，
又∵yn=

4

xn

，則：x₂-4=

4

x2

，解得x₂=2

2

+2．
∴y2=2

2

-2，
同理，依次得 x3=2

3

+2

2

，y3=2

3

-2

2

，
x4=2

4

+2

3

，y4=2

4

-2

3

，
x5=2

5

+2

4

，y5=2

5

-2

4

，
…
x_n=2

n

+2

n-1

，y_n=2

n

-2

n-1

，
∴y₁+y₂+…y_n=2+2

2

-2+2

3

-2

2

+…+2

n

-2

n-1

=2

n

．
故答案為：2，2

n

．

點評：此題主要是綜合考查了等腰直角三角形的性質以及結合反比例函數的解析式求得點的坐標．解答本題時同學們要找出其中的規律．