Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，將拋物線y=x2的對稱軸繞著點P（0，2）順時針旋轉45°后與該拋物線交于A、B兩點，點Q是該拋物線上一點．

（1）求直線AB的函數表達式。
（2）如圖①，若點Q在直線AB的下方，求點Q到直線AB的距離的最大值
（3）如圖②，若點Q在y軸左側，且點T（0，t）（t＜2）是射線PO上一點，當以P、B、Q為頂點的三角形與△PAT相似時，求所有滿足條件的t的值

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖①，設直線AB與x軸的交點為M．

∵∠OPA=45°，

∴OM=OP=2，即M（﹣2，0）．

設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），將M（﹣2，0），P（0，2）兩點坐標代入，得

，解得．

故直線AB的解析式為y=x+2

（2）

解：如圖①，過點Q作x軸的垂線QC，交AB于點C，再過點Q作直線AB的垂線，垂足為D，

根據條件可知△QDC為等腰直角三角形，則QD=QC．

設Q（m，m2），則C（m，m+2）．

∴QC=m+2﹣m2=﹣（m﹣）2+，

QD=QC=[﹣（m﹣）2+]．

故當m=時，點Q到直線AB的距離最大，最大值為

（3）

解：∵∠APT=45°，

∴△PBQ中必有一個內角為45°，由圖知，∠BPQ=45°不合題意．

①如圖②，若∠PBQ=45°，過點B作x軸的平行線，與拋物線和y軸分別交于點Q′、F．此時滿足∠PBQ′=45°．

∵Q′（﹣2，4），F（0，4），

∴此時△BPQ′是等腰直角三角形，由題意知△PAT也是等腰直角三角形．

（i）當∠PTA=90°時，得到：PT=AT=1，此時t=1；

（ii）當∠PAT=90°時，得到：PT=2，此時t=0．

②如圖③，

若∠PQB=45°，①中是情況之一，答案同上；

先以點F為圓心，FB為半徑作圓，則P、B、Q′都在圓F上，設圓F與y軸左側的拋物線交于另一點Q″．

則∠PQ″B=∠PQ′B=45°（同弧所對的圓周角相等），即這里的交點Q″也是符合要求．

設Q″（n，n2）（﹣2＜n＜0），由FQ″=2，得

n2+（4﹣n20=22，即n4﹣7n2+12=0．

解得n2=3或n2=4，而﹣2＜n＜0，故n=﹣，即Q″（﹣，3）．

可證△PFQ″為等邊三角形，

所以∠PFQ″=60°，又PQ″=PQ″，

所以∠PBQ″=∠PFQ″=30°．

則在△PQ″B中，∠PQ″B=45°，∠PBQ″=30°．

（i）若△Q″PB∽△PAT，則過點A作y軸的垂線，垂足為E．

則ET=AE=，OE=1，

所以OT=﹣1，

解得t=1﹣；

（ii）若△Q″BP∽△PAT，則過點T作直線AB垂線，垂足為G．

設TG=a，則PG=TG=a，AG=TG=a，AP=，

∴a+a=，

解得PT=a=﹣1，

∴OT=OP﹣PT=3﹣，

∴t=3﹣．

綜上所述，所求的t的值為t=1或t=0或t=1﹣或t=3﹣．

【解析】（1）根據題意易得點M、P的坐標，利用待定系數法來求直線AB的解析式；
（2）如圖①，過點Q作x軸的垂線QC，交AB于點C，再過點Q作直線AB的垂線，垂足為D，構建等腰直角△QDC，利用二次函數圖象上點的坐標特征和二次函數最值的求法進行解答；
（3）根據相似三角形的對應角相等推知：△PBQ中必有一個內角為45°；需要分類討論：∠PBQ=45°和∠PQB=45°；然后對這兩種情況下的△PAT是否是直角三角形分別進行解答．另外，以P、B、Q為頂點的三角形與△PAT相似也有兩種情況：△Q″PB∽△PAT、△Q″BP∽△PAT．