Question

如圖，△ABC中，AC=BC，以BC上一點O為圓心，OB為半徑作⊙O交AB于點D．已知經過點D的⊙O切線恰好經過點C．
（1）試判斷CD與AC的位置關系，并證明；
（2）若△ACB∽△CDB，且AC=4，求CD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，則OD⊥CD；△OBD是等腰三角形．根據等腰三角形兩底角相等證明OD∥AC，從而確定AC與CD的位置關系；
（2）設CD=x，根據相似三角形性質，用含x的式子表示AB、AD．在Rt△ACD中運用勾股定理求解．
解答：解：（1）CD⊥AC．（1分）
連接OD．
∵CD是⊙O的切線，
∴OD⊥CD，∴∠CDO=90°，（2分）
∵AC=BC，∴∠A=∠B，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B，∴∠A=∠ODB，（3分）
∴AC∥OD，
∴∠ACD=∠CDO=90°，
∴CD⊥AC．（4分）

（2）∵△ACB∽△CDB，
∴∠A=∠BCD，．
∵∠A=∠B，∴∠B=∠BCD，
∴CD=BD，設CD=BD=x，（5分）
則，
∴，（6分）
在Rt△ACD中，AD²=AC²+CD²
∴，（7分）
∴，
∴．（8分）
點評：此題考查切線的性質、相似三角形的性質、勾股定理等知識點，綜合性強，難度較大．