Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=x2+bx+c經過A、B、C三點，已知B（4，0），C（2，﹣6）．

（1）求該拋物線的解析式和點A的坐標；

（2）點D（m，n）（﹣1＜m＜2）在拋物線圖象上，當△ACD的面積為時，求點D的坐標；

（3）在（2）的條件下，設拋物線的對稱軸為l，點D關于l的對稱點為E，能否在拋物線圖象和l上分別找到點P、Q，使得以點D、E、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點A的坐標（﹣1，0）；（2）D（， ）．（3）能．理由見解析

【解析】分析：(1)由B、C兩點的坐標,利用待定系數法可求得拋物線的解析式,進而求出點A的坐標.(2)過D作DH垂直x軸于H,CG垂直x軸于G.則,進而求出D點坐標;(3)由D點坐標,可求得DE的長,當DE為邊時,根據平行四邊形的性質可得到PQ=DE=2,從而可求得P點坐標;當DE為對角線時,可知P點為拋物線的頂點,可求得P點坐標.

本題解析：

（1）∵拋物線y=x2+bx+c經過B、C二點，且B（4，0），C（2，﹣6），

∴，

解得：，

∴該拋物線的解析式：y=x2﹣3x﹣4，

∵拋物線y=x2﹣3x﹣4經過點A，且點A在x軸上

∴x2﹣3x﹣4=0，解得：x1=﹣1或x2=4（舍去）

∴點A的坐標（﹣1，0）；

（2）如圖1，過D作DH垂直x軸于H，CG垂直x軸于G．

∵點D（m，n）（﹣1＜m＜2），C（2，﹣6）

∴點H（m，0），點G（2，0）．

則S△ACD=S△ADH+S四邊形HDCG﹣S△ACG，

=|n|（m+1）+（|n|+6）（2﹣m）﹣（|﹣1|+2）×|﹣6|

=|n|﹣3m﹣3，

∵點D（m，n）在拋物線圖象上，

∴n=m2﹣3m﹣4，

∵﹣1＜m＜2，即m2﹣3m﹣4＜0

∴|n|=4+3m﹣m2，

∵△ACD的面積為：，

∴（4+3m﹣m2）﹣3m﹣3=

即4m2﹣4m+1=0，

解得m=．

∴D（，）．

（3）能．理由如下：

∵y=x2﹣3x﹣4=，

∴拋物線的對稱軸l為．

∵點D關于l的對稱點為E，

∴E（，﹣），∴DE=﹣=2．[來源:Z&xx&k.Com]

①當DE為平行四邊形的一條邊時，如圖2：

則PQ∥DE且PQ=DE=2．

∴點P的橫坐標為+2=或﹣2=﹣．

∴點P的縱坐標為（﹣）2﹣=﹣．

∴點P的坐標為（，﹣）或（﹣，﹣），

②當DE為平行四邊形的一條對角線時，對角線PQ、DE互相平分，由于Q在拋物線對稱軸上，對稱軸l垂直平分DE，因此點P在對稱軸與拋物線的交點上，即為拋物線頂點（，﹣）．

綜上所述，存在點P、Q，使得以點D、E、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，點P的坐標為（，﹣）或（﹣，﹣）或（，﹣）．