Question

【題目】在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC邊的中點，MN⊥BC交AC于點N．動點P從點B出發沿射線BA以每秒 厘米的速度運動．同時，動點Q從點N出發沿射線NC運動，且始終保持MQ丄MP．設運動時間為t秒（t＞0）．
（1）△PBM與△QNM相似嗎？以圖1為例說明理由；
（2）若∠ABC=60°，AB=4 厘米． ①求動點Q的運動速度；
②設△APQ的面積為S（平方厘米），求S與t的函數關系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：相似．

證明：∵MN⊥BC交AC于點N，MQ丄MP，

∴∠BMN=∠PMQ=90°，

即∠BMP+∠PMN=∠PMN+∠NMQ，

∴∠PMB=∠NMQ，

∵△ABC與△MNC中，∠C=∠C，∠A=∠NMC=90°，

∴△ABC∽△MNC，

∴∠B=∠MNC，

∴△PBM∽△QNM；

（2）解：①在直角△ABC中，∠ABC=60°，AB=4 厘米，

則BC=8 cm，AC=12cm．

由M為BC中點，得BM=CM=4 （cm），

若BP= cm．

∵在Rt△CMN中，∠CMN=90°，∠MCN=30°，

∴NC= =8cm，

∵△PBM∽△QNM，

∴ = ，

即NQ=1，

則求動點Q的運動速度是每秒鐘1cm．

②AP=AB﹣BP=4 ﹣ t，

AQ=AN+NQ=AC﹣NC+NQ=12﹣8+t=4+t，

則當0＜t＜4時，△APQ的面積為：S= APAQ= （4 ﹣ t）（4+t）= ，

當t＞4時，AP= t﹣4 =（t﹣4） ．

則△APQ的面積為：S= APAQ= （ t﹣4 ）（4+t）=

【解析】（1）可以證明兩個三角形中的兩個角對應相等，則兩個三角形一定相似；（2）①若BP= ，根據△PBM∽△QNM，求得NQ的長，即Q一分鐘移動的距離，即Q的速度；分別用時間t表示出AP，AQ的長，根據直角三角形的面積即可求得函數解析式．
【考點精析】關于本題考查的勾股定理的概念和相似三角形的判定與性質，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．