Question

如圖，已知直線AB：與拋物線交于A、B兩點，
（1）直線AB總經過一個定點C，請直接寫出點C坐標；
（2）當時，在直線AB下方的拋物線上求點P，使△ABP的面積等于5；
（3）若在拋物線上存在定點D使∠ADB＝90°，求點D到直線AB的最大距離.

Answer 1

（1）（-2，4）；（2）（-2，2）或（1， ）；（3）.

解析試題分析：（1）要求定點的坐標，只需尋找一個合適x，使得y的值與k無關即可．
（2）只需聯立兩函數的解析式，就可求出點A、B的坐標．設出點P的橫坐標為a，運用割補法用a的代數式表示△APB的面積，然后根據條件建立關于a的方程，從而求出a的值，進而求出點P的坐標．
（3）設點A、B、D的橫坐標分別為m、n、t，從條件∠ADB=90°出發，可構造k型相似，從而得到m、n、t的等量關系，然后利用根與系數的關系就可以求出t，從而求出點D的坐標．由于直線AB上有一個定點C，容易得到DC長就是點D到AB的最大距離，只需構建直角三角形，利用勾股定理即可解決問題．
試題解析：（1）∵當x=-2時，,
∴直線AB：y=kx+2k+4必經過定點（-2，4）．
∴點C的坐標為（-2，4）．
（2）∵，
∴直線AB的解析式為．
聯立 ，解得： 或．
∴點A的坐標為（-3，），點B的坐標為（2，2）．
如答圖1，過點P作PQ∥y軸，交AB于點Q，過點A作AM⊥PQ，垂足為M，過點B作BN⊥PQ，垂足為N．
設點P的橫坐標為a，則點Q的橫坐標為a．
∴．
∵點P在直線AB下方，∴.
∵，
∴，
整理得：，解得：．
當時，．此時點P的坐標為（-2，2）．
當a=1時，．此時點P的坐標為（1， ）．
∴符合要求的點P的坐標為（-2，2）或（1， ）．

（3）如答圖2，過點D作x軸的平行線EF，作AE⊥EF，垂足為E，作BF⊥EF，垂足為F．
∵AE⊥EF，BF⊥EF，∴∠AED=∠BFD=90°．
∵∠ADB=90°，∴∠ADE=90°-∠BDF=∠DBF．
∵∠AED=∠BFD，∠ADE=∠DBF，∴△AED∽△DFB．∴．
設點A、B、D的橫坐標分別為m、n、t，
則點A、B、D的縱坐標分別為，
∴．
∴，化簡得：．
∵點A、B是直線AB：與拋物線交點，
∴m、n是方程即兩根．∴．
∴，即，即.
∴（舍）．
∴定點D的坐標為（2，2）．
如答圖3，過點D作x軸的平行線DG，
過點C作CG⊥DG，垂足為G，
∵點C（-2，4），點D（2，2），∴CG=4-2=2，DG=2-（-2）=4．
∵CG⊥DG，∴．
過點D作DH⊥AB，垂足為H，如答圖3所示，
∴DH≤DC．∴DH≤．
∴當DH與DC重合即DC⊥AB時，
點D到直線AB的距離最大，最大值為 ．
∴點D到直線AB的最大距離為．

考點：1.二次函數綜合題；2. 因式分解法解一元二次方程；3.根與系數的關系；4.勾股定理；5.相似三角形的判定和性質；6.分類思想的應用．